Theorem funcnv3 3498

Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 3497).

Assertion

Ref	Expression
funcnv3	|- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE!x e. dom A xAy)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem funcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 3260	. . . . . 6 |- ran A = {y | E.x xAy}
2	1	abeq2i 1546	. . . . 5 |- (y e. ran A <-> E.x xAy)
3	2	biimp 151	. . . 4 |- (y e. ran A -> E.x xAy)
4	3	biantrurd 724	. . 3 |- (y e. ran A -> (E*x xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy)))
5	4	ralbiia 1649	. 2 |- (A.y e. ran AE*x xAy <-> A.y e. ran A(E.x xAy /\ E*x xAy))
6		funcnv 3497	. 2 |- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE*x xAy)
7		df-reu 1627	. . . 4 |- (E!x e. dom A xAy <-> E!x(x e. dom A /\ xAy))
8		visset 1788	. . . . . . 7 |- x e. V
9	8	breldm 3272	. . . . . 6 |- (xAy -> x e. dom A)
10	9	pm4.71ri 636	. . . . 5 |- (xAy <-> (x e. dom A /\ xAy))
11	10	eubii 1364	. . . 4 |- (E!x xAy <-> E!x(x e. dom A /\ xAy))
12		eu5 1386	. . . 4 |- (E!x xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy))
13	7, 11, 12	3bitr2 179	. . 3 |- (E!x e. dom A xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy))
14	13	ralbii 1643	. 2 |- (A.y e. ran AE!x e. dom A xAy <-> A.y e. ran A(E.x xAy /\ E*x xAy))
15	5, 6, 14	3bitr4 183	1 |- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE!x e. dom A xAy)

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223  E.wex 956   e. wcel 1105  E!weu 1357  E*wmo 1358  A.wral 1621  E!wreu 1623   class class class wbr 2587  `'ccnv 3132  dom cdm 3133  ran crn 3134  Fun wfun 3139

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-reu 1627  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-fun 3155

Copyright terms: Public domain