Theorem funconstss 3803

Description: Two ways of specifying that a function is constant on a subdomain.

Assertion

Ref	Expression
funconstss	|- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (A.x e. A (F` x) = B <-> A (_ (`'F"{B})))

Distinct variable groups:   x,F   x,A   x,B

Proof of Theorem funconstss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funimass4 3758	. . 3 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> ((F"A) (_ {B} <-> A.x e. A (F` x) e. {B}))
2		fvex 3727	. . . . 5 |- (F` x) e. V
3	2	elsnc 2428	. . . 4 |- ((F` x) e. {B} <-> (F` x) = B)
4	3	ralbii 1665	. . 3 |- (A.x e. A (F` x) e. {B} <-> A.x e. A (F` x) = B)
5	1, 4	syl6rbb 536	. 2 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (A.x e. A (F` x) = B <-> (F"A) (_ {B}))
6		funimass3 3801	. 2 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> ((F"A) (_ {B} <-> A (_ (`'F"{B})))
7	5, 6	bitrd 527	1 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (A.x e. A (F` x) = B <-> A (_ (`'F"{B})))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  A.wral 1643   (_ wss 2044  {csn 2406  `'ccnv 3165  dom cdm 3166  "cima 3169  Fun wfun 3172  ` cfv 3178

This theorem is referenced by:  fconst3 3845  ipasslem8 8456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194

Copyright terms: Public domain