MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Structured version   Unicode version

Theorem funcrcl 14065
Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables  f 
b  g  m  n  t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 14060 . 2  |-  Func  =  ( t  e.  Cat ,  u  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  t
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  u
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  u
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  t ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  t ) `  x ) )  =  ( ( Id `  u ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  t ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  t
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  t )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  u )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
21elmpt2cl 6291 1  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   [.wsbc 3163   <.cop 3819   {copab 4268    X. cxp 4879   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1stc1st 6350   2ndc2nd 6351    ^m cmap 7021   X_cixp 7066   Basecbs 13474    Hom chom 13545  compcco 13546   Catccat 13894   Idccid 13895    Func cfunc 14056
This theorem is referenced by:  funcf1  14068  funcixp  14069  funcid  14072  funcco  14073  funcsect  14074  funcinv  14075  funciso  14076  funcoppc  14077  cofucl  14090  cofulid  14092  cofurid  14093  funcres  14098  funcres2b  14099  funcpropd  14102  funcres2c  14103  isfull  14112  isfth  14116  fthsect  14127  fthinv  14128  fthmon  14129  fthepi  14130  ffthiso  14131  natfval  14148  fucbas  14162  fuchom  14163  fucco  14164  fuccocl  14166  fucidcl  14167  fuclid  14168  fucrid  14169  fucass  14170  fucid  14173  fucsect  14174  fucinv  14175  invfuc  14176  fuciso  14177  funcsetcres2  14253  prfcl  14305  prf1st  14306  prf2nd  14307  curf1cl  14330  curfcl  14334  uncfval  14336  uncfcl  14337  uncf1  14338  uncf2  14339  curfuncf  14340  uncfcurf  14341  yonffthlem  14384  yoneda  14385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-xp 4887  df-dm 4891  df-iota 5421  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-func 14060
  Copyright terms: Public domain W3C validator