MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Structured version   Unicode version

Theorem funcrcl 14052
Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables  f 
b  g  m  n  t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 14047 . 2  |-  Func  =  ( t  e.  Cat ,  u  e.  Cat  |->  {
<. f ,  g >.  |  [. ( Base `  t
)  /  b ]. ( f : b --> ( Base `  u
)  /\  g  e.  X_ z  e.  ( b  X.  b ) ( ( ( f `  ( 1st `  z ) ) (  Hom  `  u
) ( f `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
(  Hom  `  t ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  b  ( ( ( x g x ) `
 ( ( Id
`  t ) `  x ) )  =  ( ( Id `  u ) `  (
f `  x )
)  /\  A. y  e.  b  A. z  e.  b  A. m  e.  ( x (  Hom  `  t ) y ) A. n  e.  ( y (  Hom  `  t
) z ) ( ( x g z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  t )
z ) m ) )  =  ( ( ( y g z ) `  n ) ( <. ( f `  x ) ,  ( f `  y )
>. (comp `  u )
( f `  z
) ) ( ( x g y ) `
 m ) ) ) ) } )
21elmpt2cl 6280 1  |-  ( F  e.  ( D  Func  E )  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   [.wsbc 3153   <.cop 3809   {copab 4257    X. cxp 4868   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340    ^m cmap 7010   X_cixp 7055   Basecbs 13461    Hom chom 13532  compcco 13533   Catccat 13881   Idccid 13882    Func cfunc 14043
This theorem is referenced by:  funcf1  14055  funcixp  14056  funcid  14059  funcco  14060  funcsect  14061  funcinv  14062  funciso  14063  funcoppc  14064  cofucl  14077  cofulid  14079  cofurid  14080  funcres  14085  funcres2b  14086  funcpropd  14089  funcres2c  14090  isfull  14099  isfth  14103  fthsect  14114  fthinv  14115  fthmon  14116  fthepi  14117  ffthiso  14118  natfval  14135  fucbas  14149  fuchom  14150  fucco  14151  fuccocl  14153  fucidcl  14154  fuclid  14155  fucrid  14156  fucass  14157  fucid  14160  fucsect  14161  fucinv  14162  invfuc  14163  fuciso  14164  funcsetcres2  14240  prfcl  14292  prf1st  14293  prf2nd  14294  curf1cl  14317  curfcl  14321  uncfval  14323  uncfcl  14324  uncf1  14325  uncf2  14326  curfuncf  14327  uncfcurf  14328  yonffthlem  14371  yoneda  14372
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4876  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-func 14047
  Copyright terms: Public domain W3C validator