Theorem fundmen 4416

Description: A function is equinumerous to its domain. Exercise 4 of [Suppes] p. 98.

Hypothesis

Ref	Expression
fundmen.1	|- F e. V

Assertion

Ref	Expression
fundmen	|- (Fun F -> dom F ~~ F)

Proof of Theorem fundmen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fundmen.1	. . . 4 |- F e. V
2	1	dmex 3354	. . 3 |- dom F e. V
3	2	a1i 8	. 2 |- (Fun F -> dom F e. V)
4		funfvop 3795	. . 3 |- ((Fun F /\ x e. dom F) -> <.x, (F` x)>. e. F)
5	4	ex 373	. 2 |- (Fun F -> (x e. dom F -> <.x, (F` x)>. e. F))
6		funrel 3526	. . 3 |- (Fun F -> Rel F)
7		elreldm 3333	. . . 4 |- ((Rel F /\ y e. F) -> |^||^|y e. dom F)
8	7	ex 373	. . 3 |- (Rel F -> (y e. F -> |^||^|y e. dom F))
9	6, 8	syl 10	. 2 |- (Fun F -> (y e. F -> |^||^|y e. dom F))
10		ssel2 2060	. . . . . . . 8 |- ((F (_ (V X. V) /\ y e. F) -> y e. (V X. V))
11		df-rel 3180	. . . . . . . . 9 |- (Rel F <-> F (_ (V X. V))
12	6, 11	sylib 198	. . . . . . . 8 |- (Fun F -> F (_ (V X. V))
13	10, 12	sylan 448	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ y e. F) -> y e. (V X. V))
14		elvv 3223	. . . . . . 7 |- (y e. (V X. V) <-> E.zE.w y = <.z, w>.)
15	13, 14	sylib 198	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ y e. F) -> E.zE.w y = <.z, w>.)
16		eqeq1 1478	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = |^||^|y -> (x = z <-> |^||^|y = z))
17		inteq 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = <.z, w>. -> |^|y = |^|<.z, w>.)
18	17	inteqd 2533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = <.z, w>. -> |^||^|y = |^||^|<.z, w>.)
19		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- z e. V
20	19	op1stb 2908	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- |^||^|<.z, w>. = z
21	18, 20	syl6eq 1520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = <.z, w>. -> |^||^|y = z)
22	16, 21	syl5bir 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = |^||^|y -> (y = <.z, w>. -> x = z))
23		opeq1 2483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = z -> <.x, w>. = <.z, w>.)
24	22, 23	syl6 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = |^||^|y -> (y = <.z, w>. -> <.x, w>. = <.z, w>.))
25	24	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> <.x, w>. = <.z, w>.)
26		eqeq2 1481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (<.x, w>. = <.z, w>. -> (y = <.x, w>. <-> y = <.z, w>.))
27	26	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = <.z, w>. -> (<.x, w>. = <.z, w>. -> y = <.x, w>.))
28	27	adantl 388	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> (<.x, w>. = <.z, w>. -> y = <.x, w>.))
29	25, 28	mpd 26	. . . . . . . . . . 11 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> y = <.x, w>.)
30	29	ancoms 436	. . . . . . . . . 10 |- ((y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y) -> y = <.x, w>.)
31	30	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> y = <.x, w>.)
32	29	eleq1d 1537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.) -> (y e. F <-> <.x, w>. e. F))
33	32	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun F /\ (x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.)) -> (y e. F <-> <.x, w>. e. F))
34		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. V
35	34	funopfv 3743	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Fun F -> (<.x, w>. e. F -> (F` x) = w))
36	35	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun F /\ (x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.)) -> (<.x, w>. e. F -> (F` x) = w))
37	33, 36	sylbid 203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun F /\ (x = |^||^|y /\ y = <.z, w>.)) -> (y e. F -> (F` x) = w))
38	37	exp32 377	. . . . . . . . . . . 12 |- (Fun F -> (x = |^||^|y -> (y = <.z, w>. -> (y e. F -> (F` x) = w))))
39	38	com24 37	. . . . . . . . . . 11 |- (Fun F -> (y e. F -> (y = <.z, w>. -> (x = |^||^|y -> (F` x) = w))))
40	39	imp43 370	. . . . . . . . . 10 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> (F` x) = w)
41	40	opeq2d 2490	. . . . . . . . 9 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> <.x, (F` x)>. = <.x, w>.)
42	31, 41	eqtr4d 1507	. . . . . . . 8 |- (((Fun F /\ y e. F) /\ (y = <.z, w>. /\ x = |^||^|y)) -> y = <.x, (F` x)>.)
43	42	exp32 377	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ y e. F) -> (y = <.z, w>. -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.)))
44	43	19.23advv 1295	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ y e. F) -> (E.zE.w y = <.z, w>. -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.)))
45	15, 44	mpd 26	. . . . 5 |- ((Fun F /\ y e. F) -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.))
46	45	adantrl 394	. . . 4 |- ((Fun F /\ (x e. dom F /\ y e. F)) -> (x = |^||^|y -> y = <.x, (F` x)>.))
47		inteq 2531	. . . . . 6 |- (y = <.x, (F` x)>. -> |^|y = |^|<.x, (F` x)>.)
48	47	inteqd 2533	. . . . 5 |- (y = <.x, (F` x)>. -> |^||^|y = |^||^|<.x, (F` x)>.)
49		visset 1809	. . . . . 6 |- x e. V
50	49	op1stb 2908	. . . . 5 |- |^||^|<.x, (F` x)>. = x
51	48, 50	syl6req 1521	. . . 4 |- (y = <.x, (F` x)>. -> x = |^||^|y)
52	46, 51	impbid1 516	. . 3 |- ((Fun F /\ (x e. dom F /\ y e. F)) -> (x = |^||^|y <-> y = <.x, (F` x)>.))
53	52	ex 373	. 2 |- (Fun F -> ((x e. dom F /\ y e. F) -> (x = |^||^|y <-> y = <.x, (F` x)>.)))
54	3, 5, 9, 53	en3d 4389	1 |- (Fun F -> dom F ~~ F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807   (_ wss 2043  <.cop 2407  |^|cint 2528   class class class wbr 2614   X. cxp 3163  dom cdm 3165  Rel wrel 3170  Fun wfun 3171  ` cfv 3177   ~~ cen 4355

This theorem is referenced by:  infmap2 7532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-en 4358

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