Theorem funeq 3532

Description: Equality theorem for function predicate.

Assertion

Ref	Expression
funeq	|- (A = B -> (Fun A <-> Fun B))

Proof of Theorem funeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funss 3531	. . . 4 |- (B (_ A -> (Fun A -> Fun B))
2		funss 3531	. . . 4 |- (A (_ B -> (Fun B -> Fun A))
3	1, 2	anim12i 333	. . 3 |- ((B (_ A /\ A (_ B) -> ((Fun A -> Fun B) /\ (Fun B -> Fun A)))
4	3	ancoms 436	. 2 |- ((A (_ B /\ B (_ A) -> ((Fun A -> Fun B) /\ (Fun B -> Fun A)))
5		eqss 2075	. 2 |- (A = B <-> (A (_ B /\ B (_ A))
6		bi 514	. 2 |- ((Fun A <-> Fun B) <-> ((Fun A -> Fun B) /\ (Fun B -> Fun A)))
7	4, 5, 6	3imtr4 219	1 |- (A = B -> (Fun A <-> Fun B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   (_ wss 2045  Fun wfun 3173

This theorem is referenced by:  funopg 3544  fununi 3560  funcnvuni 3561  cnvresid 3566  fneq1 3579  f1eq1 3657  f1cnv 3663  f1co 3664  f10 3710  f1oi 3714  tfrlem10 3917  tz7.44lem1 3924  tz7.48-2 3954  abianfp 3959  funoprabg 4007  th3qcor 4313  elpm 4333  ssdomg 4402  sbthlem7 4446  sbthlem8 4447  tz9.12lem2 4647  tz9.12lem3 4648  zorn2lem4 4778  axaddopr 5252  axmulopr 5253  idcn 7745  vsfval 8239  ajfuni 8504  ajfun 8505  dfrelog 8740  funadj 9804  funcnvadj 9808  cmpfun 10456  isalg 10604  algi 10611

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-fun 3189

Copyright terms: Public domain