Theorem funfvima 3843

Description: A function's value in a pre-image belongs to the image.

Assertion

Ref	Expression
funfvima	|- ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Proof of Theorem funfvima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 3725	. . . . . . . . . 10 |- (B e. A -> ((F |` A)` B) = (F` B))
2	1	eleq1d 1537	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> (((F |` A)` B) e. ran ( F |` A) <-> (F` B) e. ran ( F |` A)))
3		df-ima 3186	. . . . . . . . . 10 |- (F"A) = ran ( F |` A)
4	3	eleq2i 1535	. . . . . . . . 9 |- ((F` B) e. (F"A) <-> (F` B) e. ran ( F |` A))
5	2, 4	syl6rbbr 538	. . . . . . . 8 |- (B e. A -> ((F` B) e. (F"A) <-> ((F |` A)` B) e. ran ( F |` A)))
6		fvelrn 3803	. . . . . . . . 9 |- ((Fun (F |` A) /\ B e. dom ( F |` A)) -> ((F |` A)` B) e. ran ( F |` A))
7		funres 3543	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> Fun (F |` A))
8	6, 7	sylan 448	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ B e. dom ( F |` A)) -> ((F |` A)` B) e. ran ( F |` A))
9	5, 8	syl5cbir 211	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ B e. dom ( F |` A)) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))
10	9	ex 373	. . . . . 6 |- (Fun F -> (B e. dom ( F |` A) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
11		dmres 3372	. . . . . . . 8 |- dom ( F |` A) = (A i^i dom F)
12	11	eleq2i 1535	. . . . . . 7 |- (B e. dom ( F |` A) <-> B e. (A i^i dom F))
13		elin 2203	. . . . . . 7 |- (B e. (A i^i dom F) <-> (B e. A /\ B e. dom F))
14	12, 13	bitr 173	. . . . . 6 |- (B e. dom ( F |` A) <-> (B e. A /\ B e. dom F))
15	10, 14	syl5ibr 207	. . . . 5 |- (Fun F -> ((B e. A /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
16	15	exp3a 375	. . . 4 |- (Fun F -> (B e. A -> (B e. dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))))
17	16	com12 11	. . 3 |- (B e. A -> (Fun F -> (B e. dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))))
18	17	imp3a 361	. 2 |- (B e. A -> ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
19	18	pm2.43b 67	1 |- ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 956   i^i cin 2042  dom cdm 3165  ran crn 3166   |` cres 3167  "cima 3168  Fun wfun 3171  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  funfvima2 3844  isomin 3890  isofrlem 3892  tz9.12lem3 4641

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain