Theorem funfvima2 3859

Description: A function's value in an included pre-image belongs to the image.

Assertion

Ref	Expression
funfvima2	|- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Proof of Theorem funfvima2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvima 3858	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))
2	1	ex 373	. . . . 5 |- (Fun F -> (B e. dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
3	2	com23 32	. . . 4 |- (Fun F -> (B e. A -> (B e. dom F -> (F` B) e. (F"A))))
4	3	a2d 13	. . 3 |- (Fun F -> ((B e. A -> B e. dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
5		ssel 2066	. . 3 |- (A (_ dom F -> (B e. A -> B e. dom F))
6	4, 5	syl5 21	. 2 |- (Fun F -> (A (_ dom F -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A))))
7	6	imp 350	1 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> (B e. A -> (F` B) e. (F"A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 960   (_ wss 2050  dom cdm 3176  "cima 3179  Fun wfun 3182  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  f1oweALT 3912  tz7.49 3965  php3 4521  php3OLD 4522  zorn2lem2 4799

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain