Theorem funimaexg 3515

Description: Axiom of Replacement using abbreviations. Axiom 39(vi) of [Quine] p. 284. Compare Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 29.

Assertion

Ref	Expression
funimaexg	|- ((Fun A /\ B e. C) -> (A"B) e. V)

Proof of Theorem funimaexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imaeq2 3353	. . . . 5 |- (w = B -> (A"w) = (A"B))
2	1	eleq1d 1516	. . . 4 |- (w = B -> ((A"w) e. V <-> (A"B) e. V))
3	2	imbi2d 610	. . 3 |- (w = B -> ((Fun A -> (A"w) e. V) <-> (Fun A -> (A"B) e. V)))
4		dffun5 3470	. . . . 5 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
5	4	pm3.27bi 326	. . . 4 |- (Fun A -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z))
6		ax-17 1190	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. A -> A.z<.x, y>. e. A)
7	6	axrep4 2665	. . . . 5 |- (A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z) -> E.zA.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
8		isset 1789	. . . . . 6 |- ((A"w) e. V <-> E.z z = (A"w))
9		dfima3 3357	. . . . . . . . 9 |- (A"w) = {y | E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)}
10	9	eqeq2i 1461	. . . . . . . 8 |- (z = (A"w) <-> z = {y | E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)})
11		abeq2 1544	. . . . . . . 8 |- (z = {y | E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)} <-> A.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
12	10, 11	bitr 173	. . . . . . 7 |- (z = (A"w) <-> A.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
13	12	exbii 1027	. . . . . 6 |- (E.z z = (A"w) <-> E.zA.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
14	8, 13	bitr 173	. . . . 5 |- ((A"w) e. V <-> E.zA.y(y e. z <-> E.x(x e. w /\ <.x, y>. e. A)))
15	7, 14	sylibr 200	. . . 4 |- (A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z) -> (A"w) e. V)
16	5, 15	syl 10	. . 3 |- (Fun A -> (A"w) e. V)
17	3, 16	vtoclg 1822	. 2 |- (B e. C -> (Fun A -> (A"B) e. V))
18	17	impcom 351	1 |- ((Fun A /\ B e. C) -> (A"B) e. V)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 950  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  {cab 1440  Vcvv 1786  <.cop 2382  "cima 3136  Rel wrel 3138  Fun wfun 3139

This theorem is referenced by:  funimaex 3516  resfunexg 3519  fnex 3547  carduniima 4813

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155

Copyright terms: Public domain