Theorem funimass4 3754

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	|- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> ((F"A) (_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,F

Proof of Theorem funimass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2059	. . . . . . . . . . . 12 |- (A (_ dom F -> (x e. A -> x e. dom F))
2		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. V
3	2	funbrfvb 3746	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun F /\ x e. dom F) -> ((F` x) = y <-> xFy))
4	3	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 |- (Fun F -> (x e. dom F -> ((F` x) = y <-> xFy)))
5	1, 4	syl9 57	. . . . . . . . . . 11 |- (A (_ dom F -> (Fun F -> (x e. A -> ((F` x) = y <-> xFy))))
6	5	imp31 362	. . . . . . . . . 10 |- (((A (_ dom F /\ Fun F) /\ x e. A) -> ((F` x) = y <-> xFy))
7		eqcom 1474	. . . . . . . . . 10 |- (y = (F` x) <-> (F` x) = y)
8	6, 7	syl5bb 531	. . . . . . . . 9 |- (((A (_ dom F /\ Fun F) /\ x e. A) -> (y = (F` x) <-> xFy))
9	8	rexbidva 1657	. . . . . . . 8 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (E.x e. A y = (F` x) <-> E.x e. A xFy))
10	2	elima 3400	. . . . . . . 8 |- (y e. (F"A) <-> E.x e. A xFy)
11	9, 10	syl6rbbr 538	. . . . . . 7 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (y e. (F"A) <-> E.x e. A y = (F` x)))
12	11	imbi1d 612	. . . . . 6 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> ((y e. (F"A) -> y e. B) <-> (E.x e. A y = (F` x) -> y e. B)))
13		r19.23v 1738	. . . . . 6 |- (A.x e. A (y = (F` x) -> y e. B) <-> (E.x e. A y = (F` x) -> y e. B))
14	12, 13	syl6bbr 537	. . . . 5 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> ((y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.x e. A (y = (F` x) -> y e. B)))
15	14	albidv 1276	. . . 4 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (A.y(y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B)))
16		ralcom4 1819	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B))
17		fvex 3723	. . . . . . 7 |- (F` x) e. V
18		eleq1 1531	. . . . . . 7 |- (y = (F` x) -> (y e. B <-> (F` x) e. B))
19	17, 18	ceqsalv 1823	. . . . . 6 |- (A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> (F` x) e. B)
20	19	ralbii 1664	. . . . 5 |- (A.x e. A A.y(y = (F` x) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B)
21	16, 20	bitr3 175	. . . 4 |- (A.yA.x e. A (y = (F` x) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B)
22	15, 21	syl6bb 535	. . 3 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> (A.y(y e. (F"A) -> y e. B) <-> A.x e. A (F` x) e. B))
23		dfss2 2054	. . 3 |- ((F"A) (_ B <-> A.y(y e. (F"A) -> y e. B))
24	22, 23	syl5bb 531	. 2 |- ((A (_ dom F /\ Fun F) -> ((F"A) (_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))
25	24	ancoms 436	1 |- ((Fun F /\ A (_ dom F) -> ((F"A) (_ B <-> A.x e. A (F` x) e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  dom cdm 3165  "cima 3168  Fun wfun 3171  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  funimass3 3797  funimass5 3798  funconstss 3799

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain