Theorem funin 3506

Description: The intersection with a function is a function. Exercise 14(a) of [Enderton] p. 53.

Assertion

Ref	Expression
funin	|- (Fun F -> Fun (F i^i G))

Proof of Theorem funin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relin1 3224	. . 3 |- (Rel F -> Rel (F i^i G))
2		moan 1399	. . . . 5 |- (E*y xFy -> E*y(<.x, y>. e. G /\ xFy))
3		ancom 435	. . . . . . 7 |- ((<.x, y>. e. G /\ xFy) <-> (xFy /\ <.x, y>. e. G))
4		elin 2178	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. (F i^i G) <-> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
5		df-br 2588	. . . . . . . 8 |- (x(F i^i G)y <-> <.x, y>. e. (F i^i G))
6		df-br 2588	. . . . . . . . 9 |- (xFy <-> <.x, y>. e. F)
7	6	anbi1i 480	. . . . . . . 8 |- ((xFy /\ <.x, y>. e. G) <-> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
8	4, 5, 7	3bitr4 183	. . . . . . 7 |- (x(F i^i G)y <-> (xFy /\ <.x, y>. e. G))
9	3, 8	bitr4 176	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. G /\ xFy) <-> x(F i^i G)y)
10	9	mobii 1382	. . . . 5 |- (E*y(<.x, y>. e. G /\ xFy) <-> E*y x(F i^i G)y)
11	2, 10	sylib 198	. . . 4 |- (E*y xFy -> E*y x(F i^i G)y)
12	11	19.20i 968	. . 3 |- (A.xE*y xFy -> A.xE*y x(F i^i G)y)
13	1, 12	anim12i 333	. 2 |- ((Rel F /\ A.xE*y xFy) -> (Rel (F i^i G) /\ A.xE*y x(F i^i G)y))
14		dffunmo 3472	. 2 |- (Fun F <-> (Rel F /\ A.xE*y xFy))
15		dffunmo 3472	. 2 |- (Fun (F i^i G) <-> (Rel (F i^i G) /\ A.xE*y x(F i^i G)y))
16	13, 14, 15	3imtr4 219	1 |- (Fun F -> Fun (F i^i G))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 950   e. wcel 1105  E*wmo 1358   i^i cin 2017  <.cop 2382   class class class wbr 2587  Rel wrel 3138  Fun wfun 3139

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-fun 3155

Copyright terms: Public domain