Theorem funopab 3540

Description: A class of ordered pairs is a function when there is at most one second member for each pair.

Assertion

Ref	Expression
funopab	|- (Fun {<.x, y>. | ph} <-> A.xE*yph)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem funopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbopab1 2808	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
2		hbopab2 2809	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
3	1, 2	dffunmof 3522	. . 3 |- (Fun {<.x, y>. | ph} <-> (Rel {<.x, y>. | ph} /\ A.xE*y x{<.x, y>. | ph}y))
4		relopab 3261	. . 3 |- Rel {<.x, y>. | ph}
5	3, 4	mpbiran 727	. 2 |- (Fun {<.x, y>. | ph} <-> A.xE*y x{<.x, y>. | ph}y)
6		df-br 2615	. . . . 5 |- (x{<.x, y>. | ph}y <-> <.x, y>. e. {<.x, y>. | ph})
7		opabid 2805	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
8	6, 7	bitr 173	. . . 4 |- (x{<.x, y>. | ph}y <-> ph)
9	8	mobii 1403	. . 3 |- (E*y x{<.x, y>. | ph}y <-> E*yph)
10	9	albii 997	. 2 |- (A.xE*y x{<.x, y>. | ph}y <-> A.xE*yph)
11	5, 10	bitr 173	1 |- (Fun {<.x, y>. | ph} <-> A.xE*yph)

Syntax hints:   <-> wb 146  A.wal 952   e. wcel 956  E*wmo 1379  <.cop 2407   class class class wbr 2614  {copab 2661  Rel wrel 3170  Fun wfun 3171

This theorem is referenced by:  funopabeq 3541  isarep2 3570  opabex 3601  opabex2g 3603  zfrep6 3606  fnopabg 3607  fvopab3ig 3769  tz7.44lem1 3918  funoprabg 4001  ajfuni 8464  funadj 9753

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-fun 3187

Copyright terms: Public domain