Theorem funopfvg 3752

Description: The second element in an ordered pair member of a function is the function's value.

Assertion

Ref	Expression
funopfvg	|- ((B e. C /\ Fun F) -> (<.A, B>. e. F -> (F` A) = B))

Proof of Theorem funopfvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 2488	. . . . . 6 |- (x = B -> <.A, x>. = <.A, B>.)
2	1	eleq1d 1540	. . . . 5 |- (x = B -> (<.A, x>. e. F <-> <.A, B>. e. F))
3		eqeq2 1484	. . . . 5 |- (x = B -> ((F` A) = x <-> (F` A) = B))
4	2, 3	imbi12d 626	. . . 4 |- (x = B -> ((<.A, x>. e. F -> (F` A) = x) <-> (<.A, B>. e. F -> (F` A) = B)))
5	4	imbi2d 612	. . 3 |- (x = B -> ((Fun F -> (<.A, x>. e. F -> (F` A) = x)) <-> (Fun F -> (<.A, B>. e. F -> (F` A) = B))))
6		visset 1813	. . . 4 |- x e. V
7	6	funopfv 3751	. . 3 |- (Fun F -> (<.A, x>. e. F -> (F` A) = x))
8	5, 7	vtoclg 1847	. 2 |- (B e. C -> (Fun F -> (<.A, B>. e. F -> (F` A) = B)))
9	8	imp 350	1 |- ((B e. C /\ Fun F) -> (<.A, B>. e. F -> (F` A) = B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  <.cop 2411  Fun wfun 3176  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fvopab3ig 3778  oprabvalig 4024  adjeqt 9859  oprabvaligg 10440

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain