Theorem funsn 3484

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65.

Hypotheses

Ref	Expression
funsn.1	|- A e. V
funsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
funsn	|- Fun {<.A, B>.}

Proof of Theorem funsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun4 3469	. 2 |- (Fun {<.A, B>.} <-> (Rel {<.A, B>.} /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)))
2		funsn.1	. . 3 |- A e. V
3	2	relsn 3216	. 2 |- Rel {<.A, B>.}
4		eqtr3t 1470	. . . . 5 |- ((y = B /\ z = B) -> y = z)
5		opex 2750	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
6	5	elsnc 2402	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
7		visset 1788	. . . . . . 7 |- y e. V
8		funsn.2	. . . . . . 7 |- B e. V
9	7, 8	opth2 2765	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> y = B)
10	6, 9	sylbi 199	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} -> y = B)
11		opex 2750	. . . . . . 7 |- <.x, z>. e. V
12	11	elsnc 2402	. . . . . 6 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, z>. = <.A, B>.)
13		visset 1788	. . . . . . 7 |- z e. V
14	13, 8	opth2 2765	. . . . . 6 |- (<.x, z>. = <.A, B>. -> z = B)
15	12, 14	sylbi 199	. . . . 5 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} -> z = B)
16	4, 10, 15	syl2an 454	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
17	16	ax-gen 955	. . 3 |- A.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
18	17	gen2 959	. 2 |- A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
19	1, 3, 18	mpbir2an 727	1 |- Fun {<.A, B>.}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 950   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786  {csn 2380  <.cop 2382  Rel wrel 3138  Fun wfun 3139

This theorem is referenced by:  fun0 3485  f1osn 3658  fvsn 3733  tfrlem10 3859  ringsn 8048  1alg 8848

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-br 2588  df-opab 2635  df-id 2797  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-fun 3155

Copyright terms: Public domain