MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funsng Unicode version

Theorem funsng 5222
Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65. (Contributed by NM, 28-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
funsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  Fun  { <. A ,  B >. } )

Proof of Theorem funsng
StepHypRef Expression
1 funcnvsn 5221 . 2  |-  Fun  `' { <. B ,  A >. }
2 cnvsng 5131 . . . 4  |-  ( ( B  e.  W  /\  A  e.  V )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
32ancoms 441 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. B ,  A >. }  =  { <. A ,  B >. } )
43funeqd 5201 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( Fun  `' { <. B ,  A >. }  <->  Fun  { <. A ,  B >. } ) )
51, 4mpbii 204 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  Fun  { <. A ,  B >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   {csn 3600   <.cop 3603   `'ccnv 4646   Fun wfun 4653
This theorem is referenced by:  fnsng  5223  funsn  5224  funprg  5225  tfrlem10  6357  strle1  13187  bnj519  27797  bnj150  27941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-rab 2525  df-v 2759  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-br 3984  df-opab 4038  df-id 4267  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-fun 4669
  Copyright terms: Public domain W3C validator