Theorem funss 3534

Description: Subclass theorem for function predicate.

Assertion

Ref	Expression
funss	|- (A (_ B -> (Fun B -> Fun A))

Proof of Theorem funss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relss 3246	. . . 4 |- (A (_ B -> (Rel B -> Rel A))
2		funrel 3533	. . . 4 |- (Fun B -> Rel B)
3	1, 2	syl5 21	. . 3 |- (A (_ B -> (Fun B -> Rel A))
4		ssel 2063	. . . . . . . 8 |- (A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
5	4	imim1d 28	. . . . . . 7 |- (A (_ B -> ((<.x, y>. e. B -> y = z) -> (<.x, y>. e. A -> y = z)))
6	5	19.20dv 1289	. . . . . 6 |- (A (_ B -> (A.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> A.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
7	6	19.22dv 1290	. . . . 5 |- (A (_ B -> (E.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> E.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
8	7	19.20dv 1289	. . . 4 |- (A (_ B -> (A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
9		dffun5 3529	. . . . 5 |- (Fun B <-> (Rel B /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z)))
10	9	pm3.27bi 326	. . . 4 |- (Fun B -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z))
11	8, 10	syl5 21	. . 3 |- (A (_ B -> (Fun B -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
12	3, 11	jcad 600	. 2 |- (A (_ B -> (Fun B -> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z))))
13		dffun5 3529	. 2 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
14	12, 13	syl6ibr 213	1 |- (A (_ B -> (Fun B -> Fun A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980   (_ wss 2047  <.cop 2411  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176

This theorem is referenced by:  funeq 3535  fun0 3544  funres 3551  funcnvcnv 3555  funres11 3567  fodom 4798  cmpfun 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-fun 3192

Copyright terms: Public domain