Theorem funssres 3544

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass.

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)

Proof of Theorem funssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2059	. . . . . . 7 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> <.x, y>. e. F))
2		visset 1809	. . . . . . . . 9 |- x e. V
3	2	opeldm 3309	. . . . . . . 8 |- (<.x, y>. e. G -> x e. dom G)
4	3	a1i 8	. . . . . . 7 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> x e. dom G))
5	1, 4	jcad 599	. . . . . 6 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
6	5	adantl 388	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
7		eupick 1432	. . . . . . . . . . . 12 |- ((E!y<.x, y>. e. F /\ E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
8		funeu2 3530	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun F /\ <.x, y>. e. F) -> E!y<.x, y>. e. F)
9	1	ancrd 299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (G (_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
10	9	19.22dv 1288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (G (_ F -> (E.y<.x, y>. e. G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
11	2	eldm2 3303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x e. dom G <-> E.y<.x, y>. e. G)
12	10, 11	syl5ib 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- (G (_ F -> (x e. dom G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
13	12	imp 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((G (_ F /\ x e. dom G) -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
14	7, 8, 13	syl2an 454	. . . . . . . . . . 11 |- (((Fun F /\ <.x, y>. e. F) /\ (G (_ F /\ x e. dom G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
15	14	exp43 384	. . . . . . . . . 10 |- (Fun F -> (<.x, y>. e. F -> (G (_ F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
16	15	com23 32	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> (G (_ F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
17	16	imp 350	. . . . . . . 8 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))))
18	17	com34 36	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G))))
19	18	pm2.43d 65	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G)))
20	19	imp3a 361	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((<.x, y>. e. F /\ x e. dom G) -> <.x, y>. e. G))
21	6, 20	impbid 515	. . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. G <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
22		visset 1809	. . . . 5 |- y e. V
23	22	opelres 3364	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G))
24	21, 23	syl6rbbr 538	. . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
25	24	19.21aivv 1285	. 2 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
26		relss 3241	. . . . . 6 |- (G (_ F -> (Rel F -> Rel G))
27		funrel 3525	. . . . . 6 |- (Fun F -> Rel F)
28	26, 27	syl5com 52	. . . . 5 |- (Fun F -> (G (_ F -> Rel G))
29	28	imp 350	. . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> Rel G)
30		relres 3379	. . . 4 |- Rel (F |` dom G)
31	29, 30	jctil 292	. . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (Rel (F |` dom G) /\ Rel G))
32		eqrel 3245	. . 3 |- ((Rel (F |` dom G) /\ Rel G) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
33	31, 32	syl 10	. 2 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((F |` dom G) = G <-> A.xA.y(<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G)))
34	25, 33	mpbird 196	1 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E!weu 1378   (_ wss 2043  <.cop 2407  dom cdm 3165   |` cres 3167  Rel wrel 3170  Fun wfun 3171

This theorem is referenced by:  fun2ssres 3545  funcnvres 3560  funssfv 3726  oprssoprval 4025  climuz0 7053  dfef2 7257  metcnss 7850  metcnss2 7851

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-res 3185  df-fun 3187

Copyright terms: Public domain