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Theorem funun 5234
Description: The union of functions with disjoint domains is a function. Theorem 4.6 of [Monk1] p. 43. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funun  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  Fun  ( F  u.  G
) )

Proof of Theorem funun
StepHypRef Expression
1 funrel 5211 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  Rel  F )
2 funrel 5211 . . . . 5  |-  ( Fun 
G  ->  Rel  G )
31, 2anim12i 551 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( Rel  F  /\  Rel  G ) )
4 relun 4790 . . . 4  |-  ( Rel  ( F  u.  G
)  <->  ( Rel  F  /\  Rel  G ) )
53, 4sylibr 205 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Rel  ( F  u.  G ) )
65adantr 453 . 2  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  Rel  ( F  u.  G
) )
7 elun 3291 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  \/  <. x ,  y
>.  e.  G ) )
8 elun 3291 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( F  u.  G
)  <->  ( <. x ,  z >.  e.  F  \/  <. x ,  z
>.  e.  G ) )
97, 8anbi12i 681 . . . . . . 7  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  /\  <. x ,  z >.  e.  ( F  u.  G )
)  <->  ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  \/  <. x ,  y >.  e.  G
)  /\  ( <. x ,  z >.  e.  F  \/  <. x ,  z
>.  e.  G ) ) )
10 anddi 845 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  \/  <. x ,  y >.  e.  G
)  /\  ( <. x ,  z >.  e.  F  \/  <. x ,  z
>.  e.  G ) )  <-> 
( ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  \/  (
( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) ) )
119, 10bitri 242 . . . . . 6  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  /\  <. x ,  z >.  e.  ( F  u.  G )
)  <->  ( ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  \/  (
( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) ) )
12 disj1 3472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  <->  A. x
( x  e.  dom  F  ->  -.  x  e.  dom  G ) )
1312biimpi 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  A. x
( x  e.  dom  F  ->  -.  x  e.  dom  G ) )
141319.21bi 1774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
x  e.  dom  F  ->  -.  x  e.  dom  G ) )
15 imnan 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  F  ->  -.  x  e.  dom  G )  <->  -.  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
1614, 15sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
17 vex 2766 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
18 vex 2766 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
1917, 18opeldm 4870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  F  ->  x  e. 
dom  F )
20 vex 2766 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2117, 20opeldm 4870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G )
2219, 21anim12i 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  ( x  e.  dom  F  /\  x  e.  dom  G ) )
2316, 22nsyl 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )
24 orel2 374 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  ( (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  \/  ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
) ) )
2614con2d 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
x  e.  dom  G  ->  -.  x  e.  dom  F ) )
27 imnan 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  G  ->  -.  x  e.  dom  F )  <->  -.  ( x  e.  dom  G  /\  x  e.  dom  F ) )
2826, 27sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  ( x  e.  dom  G  /\  x  e.  dom  F ) )
2917, 18opeldm 4870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  G  ->  x  e. 
dom  G )
3017, 20opeldm 4870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  F  ->  x  e. 
dom  F )
3129, 30anim12i 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( x  e.  dom  G  /\  x  e.  dom  F ) )
3228, 31nsyl 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  -.  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
) )
33 orel1 373 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  ( (
( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) )
3432, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
( ( <. x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  \/  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) )
3525, 34orim12d 814 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  F  i^i  dom  G )  =  (/)  ->  (
( ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  \/  (
( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  \/  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) ) )
3635adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( ( (
<. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  \/  (
( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  \/  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) ) )
3711, 36syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  ( F  u.  G )  /\  <. x ,  z
>.  e.  ( F  u.  G ) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z
>.  e.  F )  \/  ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) ) ) )
38 dffun4 5206 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  <->  ( Rel  F  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) ) )
3938simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
403919.21bi 1774 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
414019.21bbi 1775 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  ->  y  =  z ) )
42 dffun4 5206 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  y  =  z ) ) )
4342simprbi 452 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  ->  A. x A. y A. z ( ( <. x ,  y
>.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  y  =  z ) )
444319.21bi 1774 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
G  ->  A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  y  =  z ) )
454419.21bbi 1775 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
G  ->  ( ( <. x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
)  ->  y  =  z ) )
4641, 45jaao 497 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( (
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  y  =  z ) )
4746adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( ( <.
x ,  y >.  e.  F  /\  <. x ,  z >.  e.  F
)  \/  ( <.
x ,  y >.  e.  G  /\  <. x ,  z >.  e.  G
) )  ->  y  =  z ) )
4837, 47syld 42 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  -> 
( ( <. x ,  y >.  e.  ( F  u.  G )  /\  <. x ,  z
>.  e.  ( F  u.  G ) )  -> 
y  =  z ) )
4948alrimiv 2013 . . 3  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  /\  <. x ,  z >.  e.  ( F  u.  G )
)  ->  y  =  z ) )
5049alrimivv 2014 . 2  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  /\  <. x ,  z >.  e.  ( F  u.  G )
)  ->  y  =  z ) )
51 dffun4 5206 . 2  |-  ( Fun  ( F  u.  G
)  <->  ( Rel  ( F  u.  G )  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  u.  G
)  /\  <. x ,  z >.  e.  ( F  u.  G )
)  ->  y  =  z ) ) )
526, 50, 51sylanbrc 648 1  |-  ( ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  /\  ( dom  F  i^i  dom  G
)  =  (/) )  ->  Fun  ( F  u.  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621    u. cun 3125    i^i cin 3126   (/)c0 3430   <.cop 3617   dom cdm 4661   Rel wrel 4666   Fun wfun 4667
This theorem is referenced by:  funprg  5239  funtp  5241  fnun  5288  fvun  5523  tfrlem10  6371  sbthlem7  6945  sbthlem8  6946  fodomr  6980  axdc3lem4  8047  strlemor1  13197  strleun  13200  wfrlem13  23637  repfuntw  24527  bnj1421  28121
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rab 2527  df-v 2765  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-br 3998  df-opab 4052  df-id 4281  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-fun 4683
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