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Theorem fv2 5481
Description: Alternate definition of function value. Definition 10.11 of [Quine] p. 68. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fv2  |-  ( F `
 A )  = 
U. { x  | 
A. y ( A F y  <->  y  =  x ) }
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y

Proof of Theorem fv2
StepHypRef Expression
1 df-fv 5229 . 2  |-  ( F `
 A )  = 
U. { x  |  ( F " { A } )  =  {
x } }
2 imasng 5034 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  ( F " { A }
)  =  { y  |  A F y } )
3 df-sn 3647 . . . . . . . 8  |-  { x }  =  { y  |  y  =  x }
43a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { x }  =  { y  |  y  =  x } )
52, 4eqeq12d 2298 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( F " { A } )  =  {
x }  <->  { y  |  A F y }  =  { y  |  y  =  x }
) )
6 abbi 2394 . . . . . 6  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  <->  { y  |  A F y }  =  { y  |  y  =  x } )
75, 6syl6bbr 256 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  (
( F " { A } )  =  {
x }  <->  A. y
( A F y  <-> 
y  =  x ) ) )
8 snprc 3696 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
9 imaeq2 5007 . . . . . . . . 9  |-  ( { A }  =  (/)  ->  ( F " { A } )  =  ( F " (/) ) )
108, 9sylbi 189 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F " { A } )  =  ( F " (/) ) )
11 ima0 5029 . . . . . . . 8  |-  ( F
" (/) )  =  (/)
1210, 11syl6eq 2332 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( F " { A } )  =  (/) )
1312eqeq1d 2292 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( F " { A } )  =  {
x }  <->  (/)  =  {
x } ) )
14 vex 2792 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
1514snnz 3745 . . . . . . . . . 10  |-  { x }  =/=  (/)
1615necomi 2529 . . . . . . . . 9  |-  (/)  =/=  {
x }
17 df-ne 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  =/=  { x }  <->  -.  (/)  =  {
x } )
1816, 17mpbi 201 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  =  {
x }
1918a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  (/)  =  { x }
)
20 dtruALT2 4218 . . . . . . . 8  |-  -.  A. y  y  =  x
21 equid 1646 . . . . . . . . . 10  |-  x  =  x
22 breq2 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( A F y  <->  A F x ) )
23 equequ1 1649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (
y  =  x  <->  x  =  x ) )
2422, 23bibi12d 314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( A F y  <-> 
y  =  x )  <-> 
( A F x  <-> 
x  =  x ) ) )
2524spv 1943 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  ->  ( A F x  <->  x  =  x
) )
2621, 25mpbiri 226 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  ->  A F x )
27 bi1 180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A F y  <->  y  =  x )  ->  ( A F y  ->  y  =  x ) )
28 opprc1 3819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  =  (/) )
29 opprc1 3819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  x >.  =  (/) )
3028, 29eqtr4d 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  <. A ,  y >.  = 
<. A ,  x >. )
3130eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
<. A ,  y >.  e.  F  <->  <. A ,  x >.  e.  F ) )
32 df-br 4025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A F y  <->  <. A , 
y >.  e.  F )
33 df-br 4025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A F x  <->  <. A ,  x >.  e.  F )
3431, 32, 333bitr4g 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A F y  <->  A F x ) )
3534imbi1d 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( A F y  ->  y  =  x )  <->  ( A F x  ->  y  =  x ) ) )
3627, 35syl5ib 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( A F y  <-> 
y  =  x )  ->  ( A F x  ->  y  =  x ) ) )
3736alimdv 1608 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  ->  A. y
( A F x  ->  y  =  x ) ) )
38 19.21v 1832 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( A F x  ->  y  =  x )  <->  ( A F x  ->  A. y 
y  =  x ) )
3937, 38syl6ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  ->  ( A F x  ->  A. y 
y  =  x ) ) )
4026, 39mpdi 40 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( A. y ( A F y  <->  y  =  x )  ->  A. y 
y  =  x ) )
4120, 40mtoi 171 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -. 
A. y ( A F y  <->  y  =  x ) )
4219, 412falsed 342 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
(/)  =  { x } 
<-> 
A. y ( A F y  <->  y  =  x ) ) )
4313, 42bitrd 246 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( F " { A } )  =  {
x }  <->  A. y
( A F y  <-> 
y  =  x ) ) )
447, 43pm2.61i 158 . . . 4  |-  ( ( F " { A } )  =  {
x }  <->  A. y
( A F y  <-> 
y  =  x ) )
4544abbii 2396 . . 3  |-  { x  |  ( F " { A } )  =  { x } }  =  { x  |  A. y ( A F y  <->  y  =  x ) }
4645unieqi 3838 . 2  |-  U. {
x  |  ( F
" { A }
)  =  { x } }  =  U. { x  |  A. y ( A F y  <->  y  =  x ) }
471, 46eqtri 2304 1  |-  ( F `
 A )  = 
U. { x  | 
A. y ( A F y  <->  y  =  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178   A.wal 1528    = wceq 1624    e. wcel 1685   {cab 2270    =/= wne 2447   _Vcvv 2789   (/)c0 3456   {csn 3641   <.cop 3644   U.cuni 3828   class class class wbr 4024   "cima 4691   ` cfv 5221
This theorem is referenced by:  elfv  5483  ovtpos  6210  fv4  6281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-xp 4694  df-cnv 4696  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fv 5229
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