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Theorem fv3 5744
Description: Alternate definition of the value of a function. Definition 6.11 of [TakeutiZaring] p. 26. (Contributed by NM, 30-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fv3  |-  ( F `
 A )  =  { x  |  ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y ) }
Distinct variable groups:    x, y, F    x, A, y

Proof of Theorem fv3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfv 5726 . . 3  |-  ( x  e.  ( F `  A )  <->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) )
2 bi2 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A F y  <->  y  =  z )  ->  (
y  =  z  ->  A F y ) )
32alimi 1568 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  A. y
( y  =  z  ->  A F y ) )
4 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
5 breq2 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  z  ->  ( A F y  <->  A F
z ) )
64, 5ceqsalv 2982 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( y  =  z  ->  A F
y )  <->  A F
z )
73, 6sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  A F
z )
87anim2i 553 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )  ->  (
x  e.  z  /\  A F z ) )
98eximi 1585 . . . . . 6  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A F z ) )
10 elequ2 1730 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  y ) )
11 breq2 4216 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  ( A F z  <->  A F
y ) )
1210, 11anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
( x  e.  z  /\  A F z )  <->  ( x  e.  y  /\  A F y ) ) )
1312cbvexv 1985 . . . . . 6  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A F z )  <->  E. y
( x  e.  y  /\  A F y ) )
149, 13sylib 189 . . . . 5  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  E. y
( x  e.  y  /\  A F y ) )
15 19.40 1619 . . . . . . 7  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  ( E. z  x  e.  z  /\  E. z A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) ) )
1615simprd 450 . . . . . 6  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  E. z A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )
17 df-eu 2285 . . . . . 6  |-  ( E! y  A F y  <->  E. z A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )
1816, 17sylibr 204 . . . . 5  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  E! y  A F y )
1914, 18jca 519 . . . 4  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  ->  ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
20 nfeu1 2291 . . . . . . 7  |-  F/ y E! y  A F y
21 nfv 1629 . . . . . . . . 9  |-  F/ y  x  e.  z
22 nfa1 1806 . . . . . . . . 9  |-  F/ y A. y ( A F y  <->  y  =  z )
2321, 22nfan 1846 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )
2423nfex 1865 . . . . . . 7  |-  F/ y E. z ( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) )
2520, 24nfim 1832 . . . . . 6  |-  F/ y ( E! y  A F y  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) )
26 bi1 179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A F y  <->  y  =  z )  ->  ( A F y  ->  y  =  z ) )
27 ax-14 1729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  z  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  z )
)
2826, 27syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A F y  <->  y  =  z )  ->  ( A F y  ->  (
x  e.  y  ->  x  e.  z )
) )
2928com23 74 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A F y  <->  y  =  z )  ->  (
x  e.  y  -> 
( A F y  ->  x  e.  z ) ) )
3029imp3a 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A F y  <->  y  =  z )  ->  (
( x  e.  y  /\  A F y )  ->  x  e.  z ) )
3130sps 1770 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A F y )  ->  x  e.  z )
)
3231anc2ri 542 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A F y )  -> 
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) ) )
3332com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  y  /\  A F y )  -> 
( A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  (
x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) ) )
3433eximdv 1632 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  A F y )  -> 
( E. z A. y ( A F y  <->  y  =  z )  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) ) )
3517, 34syl5bi 209 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  A F y )  -> 
( E! y  A F y  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) ) )
3625, 35exlimi 1821 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  ->  ( E! y  A F
y  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) ) )
3736imp 419 . . . 4  |-  ( ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y )  ->  E. z
( x  e.  z  /\  A. y ( A F y  <->  y  =  z ) ) )
3819, 37impbii 181 . . 3  |-  ( E. z ( x  e.  z  /\  A. y
( A F y  <-> 
y  =  z ) )  <->  ( E. y
( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
391, 38bitri 241 . 2  |-  ( x  e.  ( F `  A )  <->  ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F y ) )
4039abbi2i 2547 1  |-  ( F `
 A )  =  { x  |  ( E. y ( x  e.  y  /\  A F y )  /\  E! y  A F
y ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2281   {cab 2422   class class class wbr 4212   ` cfv 5454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-iota 5418  df-fv 5462
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