Theorem fvi 3833

Description: The value of the identity function.

Assertion

Ref	Expression
fvi	|- (A e. B -> (I` A) = A)

Proof of Theorem fvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3715	. . 3 |- (x = A -> (I` x) = (I` A))
2		id 59	. . 3 |- (x = A -> x = A)
3	1, 2	eqeq12d 1486	. 2 |- (x = A -> ((I` x) = x <-> (I` A) = A))
4		df-fn 3188	. . . 4 |- (I Fn V <-> (Fun I /\ dom I = V))
5		funi 3537	. . . 4 |- Fun I
6		dmi 3321	. . . 4 |- dom I = V
7	4, 5, 6	mpbir2an 729	. . 3 |- I Fn V
8		visset 1809	. . 3 |- x e. V
9		ididg 3273	. . . . . 6 |- (x e. V -> xIx)
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . 5 |- xIx
11		df-br 2615	. . . . 5 |- (xIx <-> <.x, x>. e. I)
12	10, 11	mpbi 189	. . . 4 |- <.x, x>. e. I
13	8	fnopfvb 3745	. . . 4 |- ((I Fn V /\ x e. V) -> ((I` x) = x <-> <.x, x>. e. I))
14	12, 13	mpbiri 194	. . 3 |- ((I Fn V /\ x e. V) -> (I` x) = x)
15	7, 8, 14	mp2an 696	. 2 |- (I` x) = x
16	3, 15	vtoclg 1843	1 |- (A e. B -> (I` A) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  <.cop 2407   class class class wbr 2614  Icid 2826  dom cdm 3165  Fun wfun 3171   Fn wfn 3172  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  fvresi 3834  fac1 6880  facp1t 6881  acdc2lem2 7439  acdc5lem2 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain