Theorem fvimacnvi 3801

Description: A member of a preimage is a function value argument.

Assertion

Ref	Expression
fvimacnvi	|- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> (F` A) e. B)

Proof of Theorem fvimacnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funimass2 3570	. . 3 |- ((Fun F /\ {A} (_ (`'F"B)) -> (F"{A}) (_ B)
2		snssi 2464	. . 3 |- (A e. (`'F"B) -> {A} (_ (`'F"B))
3	1, 2	sylan2 451	. 2 |- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> (F"{A}) (_ B)
4		fnsnfv 3764	. . . . . 6 |- ((F Fn dom F /\ A e. dom F) -> {(F` A)} = (F"{A}))
5		funfn 3539	. . . . . 6 |- (Fun F <-> F Fn dom F)
6	4, 5	sylanb 449	. . . . 5 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> {(F` A)} = (F"{A}))
7		cnvimass 3420	. . . . . 6 |- (`'F"B) (_ dom F
8	7	sseli 2063	. . . . 5 |- (A e. (`'F"B) -> A e. dom F)
9	6, 8	sylan2 451	. . . 4 |- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> {(F` A)} = (F"{A}))
10	9	sseq1d 2086	. . 3 |- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> ({(F` A)} (_ B <-> (F"{A}) (_ B))
11		fvex 3729	. . . 4 |- (F` A) e. V
12	11	snss 2459	. . 3 |- ((F` A) e. B <-> {(F` A)} (_ B)
13	10, 12	syl5bb 531	. 2 |- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> ((F` A) e. B <-> (F"{A}) (_ B))
14	3, 13	mpbird 196	1 |- ((Fun F /\ A e. (`'F"B)) -> (F` A) e. B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   (_ wss 2045  {csn 2407  `'ccnv 3166  dom cdm 3167  "cima 3170  Fun wfun 3173   Fn wfn 3174  ` cfv 3179

This theorem is referenced by:  fvimacnv 3802

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195

Copyright terms: Public domain