MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvmptg Structured version   Unicode version

Theorem fvmptg 5804
Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptg.1  |-  ( x  =  A  ->  B  =  C )
fvmptg.2  |-  F  =  ( x  e.  D  |->  B )
Assertion
Ref Expression
fvmptg  |-  ( ( A  e.  D  /\  C  e.  R )  ->  ( F `  A
)  =  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    x, D
Allowed substitution hints:    B( x)    R( x)    F( x)

Proof of Theorem fvmptg
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2436 . 2  |-  C  =  C
2 fvmptg.1 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  B  =  C )
32eqeq2d 2447 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
y  =  B  <->  y  =  C ) )
4 eqeq1 2442 . . 3  |-  ( y  =  C  ->  (
y  =  C  <->  C  =  C ) )
5 moeq 3110 . . . 4  |-  E* y 
y  =  B
65a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  D  ->  E* y  y  =  B
)
7 fvmptg.2 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  D  |->  B )
8 df-mpt 4268 . . . 4  |-  ( x  e.  D  |->  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  D  /\  y  =  B ) }
97, 8eqtri 2456 . . 3  |-  F  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  D  /\  y  =  B ) }
103, 4, 6, 9fvopab3ig 5803 . 2  |-  ( ( A  e.  D  /\  C  e.  R )  ->  ( C  =  C  ->  ( F `  A )  =  C ) )
111, 10mpi 17 1  |-  ( ( A  e.  D  /\  C  e.  R )  ->  ( F `  A
)  =  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E*wmo 2282   {copab 4265    e. cmpt 4266   ` cfv 5454
This theorem is referenced by:  fvmpti  5805  fvmpt  5806  fvmpts  5807  fvmpt3  5808  fvmptss2  5824  f1mpt  6007  undefval  6546  tz7.44-2  6665  tz7.44-3  6666  fvdiagfn  7058  resixpfo  7100  pw2f1olem  7212  fival  7417  wdom2d  7548  cantnfp1lem1  7634  cantnfp1lem2  7635  cantnfp1lem3  7636  wemapwe  7654  tz9.12lem3  7715  rankvalb  7723  cardval3  7839  cfval  8127  coftr  8153  fin23lem27  8208  isf34lem1  8252  fin1a2lem1  8280  fin1a2lem12  8291  axdc2lem  8328  pwcfsdom  8458  canthp1lem2  8528  wuncval  8617  tskmval  8714  climrlim2  12341  summolem3  12508  summolem2a  12509  iserodd  13209  divsfval  13772  mreacs  13883  pwsco1mhm  14769  pwsco2mhm  14770  vrmdfval  14801  galactghm  15106  efgtf  15354  gsummhm2  15535  dprdfid  15575  lspval  16051  aspval  16387  coe1tmfv1  16666  coe1tmfv2  16667  ply1sclid  16679  tgval  17020  cldval  17087  ntrfval  17088  clsfval  17089  ntrval  17100  clsval  17101  opncldf2  17149  opncldf3  17150  neifval  17163  neival  17166  lpfval  17202  lpval  17203  1stcfb  17508  cnmpt11  17695  cnmpt21  17703  cnmptkp  17712  cnmptk1p  17717  kqfval  17755  stdbdxmet  18545  cmetcaulem  19241  bcth3  19284  iunmbl  19447  itg2gt0  19652  ellimc2  19764  cnmptlimc  19777  limccnp  19778  limcco  19780  evlslem3  19935  coe1termlem  20176  coe1term  20177  ulmval  20296  pserulm  20338  rlimcnp  20804  xrlimcnp  20807  dchrelbasd  21023  nbgraf1olem4  21454  fargshiftfv  21622  grpoinvfval  21812  grpodivfval  21830  gxfval  21845  issubgo  21891  spanval  22835  nlfnval  23384  fvmpt2f  24072  sigaval  24493  measval  24552  measdivcstOLD  24578  measdivcst  24579  probfinmeasbOLD  24686  ptpcon  24920  cvmsval  24953  dfrtrclrec2  25143  rtrclreclem.refl  25144  climlec3  25214  prodmolem3  25259  prodmolem2a  25260  iprodmul  25316  bdayval  25603  imageval  25775  fvimage  25776  islocfin  26376  tailfval  26401  tailval  26402  heiborlem4  26523  heiborlem6  26525  fvtresfn  26744  mzpval  26789  mzpsubst  26805  rabdiophlem2  26862  fphpdo  26878  monotoddzz  27006  pw2f1o2val  27110  dnnumch3lem  27121  pwssplit4  27168  uvcval  27211  uvcvval  27212  hbtlem1  27304  rgspnval  27350  pmtrval  27371  pmtrfv  27372  refsum2cnlem1  27684  fmuldfeq  27689  stoweidlem26  27751  stoweidlem30  27755  stoweidlem31  27756  stoweidlem34  27759  stirlinglem5  27803  stirlinglem8  27806  swrdswrd  28199  lswrd  28259  usg2spot2nb  28454  usgreg2spot  28456  2spotmdisj  28457  usgreghash2spot  28458  lkrval  29886  pclvalN  30687  cdleme31fv  31187  docavalN  31921  dochval  32149  mapdval  32426  hvmapval  32558  hvmapvalvalN  32559  hdmap1vallem  32596  hdmapval  32629  hgmapval  32688
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462
  Copyright terms: Public domain W3C validator