Theorem fvopab 3785

Description: The value of a function given by an ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopab.1	|- A e. V
fvopab.2	|- C e. V
fvopab.3	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopab	|- ({<.x, y>. | y = B}` A) = C

Distinct variable groups:   x,A   y,B   x,C   x,y

Proof of Theorem fvopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 970	. 2 |- (z e. A -> A.x z e. A)
2		ax-17 970	. 2 |- (z e. C -> A.x z e. C)
3		fvopab.1	. 2 |- A e. V
4		fvopab.2	. 2 |- C e. V
5		fvopab.3	. 2 |- (x = A -> B = C)
6	1, 2, 3, 4, 5	fvopabf 3784	1 |- ({<.x, y>. | y = B}` A) = C

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1808  {copab 2662  ` cfv 3178

This theorem is referenced by:  fvresex 3852  oasuc 4156  omsuc 4158  oesuc 4159  inf3lema 4592  rankval 4651  numthlem 4766  zorn2lem1 4771  seq1rval 6261  symgval 10359

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-rex 1648  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fv 3194

Copyright terms: Public domain