Theorem fvopab4g 3770

Description: Value of a function given by ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopab4g.1	|- (x = A -> B = C)
fvopab4g.2	|- F = {<.x, y>. | (x e. D /\ y = B)}

Assertion

Ref	Expression
fvopab4g	|- ((A e. D /\ C e. R) -> (F` A) = C)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,C,y   x,D,y

Proof of Theorem fvopab4g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1473	. 2 |- C = C
2		fvopab4g.1	. . . 4 |- (x = A -> B = C)
3	2	eqeq2d 1483	. . 3 |- (x = A -> (y = B <-> y = C))
4		eqeq1 1478	. . 3 |- (y = C -> (y = C <-> C = C))
5		moeq 1916	. . . 4 |- E*y y = B
6	5	a1i 8	. . 3 |- (x e. D -> E*y y = B)
7		fvopab4g.2	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. D /\ y = B)}
8	3, 4, 6, 7	fvopab3ig 3769	. 2 |- ((A e. D /\ C e. R) -> (C = C -> (F` A) = C))
9	1, 8	mpi 44	1 |- ((A e. D /\ C e. R) -> (F` A) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E*wmo 1379  {copab 2661  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  fvopab4 3771  fvopab4gf 3772  fvopabg 3776  cfval 4886  fsum1 6951  mulc1cncf 7222  tgvalt 7566  cldval 7616  ntrfval 7617  clsfval 7618  ntrval 7626  clsval 7627  neifval 7664  neival 7667  lpfval 7692  lpval 7693  blfval 7787  opnfval 7809  lmfval 7877  caufval 7878  lmfexlem2 7908  grpidval 8008  grpinvfval 8016  grpinvval 8017  grpdivfval 8031  grplactfval 8047  issubg 8068  sincolem 8603  pjvalt 9177  spanvalt 9237  hsupval2t 9238  fiv 10410  homcard 10462  cnvtr 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain