Theorem fvopab4ndm 3775

Description: Value of a function given by an ordered-pair class abstraction, outside of its domain.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopab4ndm.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}

Assertion

Ref	Expression
fvopab4ndm	|- (-. B e. A -> (F` B) = (/))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem fvopab4ndm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvopab4ndm.1	. . . . . 6 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}
2	1	dmeqi 3307	. . . . 5 |- dom F = dom {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)}
3		dmopabss 3316	. . . . 5 |- dom {<.x, y>. | (x e. A /\ ph)} (_ A
4	2, 3	eqsstr 2087	. . . 4 |- dom F (_ A
5	4	sseli 2061	. . 3 |- (B e. dom F -> B e. A)
6	5	con3i 98	. 2 |- (-. B e. A -> -. B e. dom F)
7		ndmfv 3736	. 2 |- (-. B e. dom F -> (F` B) = (/))
8	6, 7	syl 10	1 |- (-. B e. A -> (F` B) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  (/)c0 2276  {copab 2661  dom cdm 3165  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  curry1val 4090

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain