Theorem fvopab4sf 3773

Description: Value of a function given by ordered-pair class abstraction, using explicit class substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopab4sf.1	|- A e. V
fvopab4sf.2	|- B e. V
fvopab4sf.3	|- (z e. A -> A.x z e. A)
fvopab4sf.4	|- F = {<.x, y>. | (x e. C /\ y = B)}

Assertion

Ref	Expression
fvopab4sf	|- (A e. C -> (F` A) = [_A / x]_B)

Distinct variable groups:   z,A   y,B   z,B   x,y,C   x,z

Proof of Theorem fvopab4sf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvopab4sf.1	. . 3 |- A e. V
2		fvopab4sf.2	. . 3 |- B e. V
3	1, 2	csbex 2005	. 2 |- [_A / x]_B e. V
4		fvopab4sf.3	. . 3 |- (z e. A -> A.x z e. A)
5	1, 4	hbcsb1 2021	. . 3 |- (z e. [_A / x]_B -> A.x z e. [_A / x]_B)
6		csbeq1a 2002	. . 3 |- (x = A -> B = [_A / x]_B)
7		fvopab4sf.4	. . 3 |- F = {<.x, y>. | (x e. C /\ y = B)}
8	4, 5, 6, 7	fvopab4gf 3772	. 2 |- ((A e. C /\ [_A / x]_B e. V) -> (F` A) = [_A / x]_B)
9	3, 8	mpan2 695	1 |- (A e. C -> (F` A) = [_A / x]_B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  [_csb 1997  {copab 2661  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  fvopab4s 3774  fopabcos 3824

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain