Theorem fvopab5 3790

Description: The value of a function that is expressed as an ordered pair abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopab5.1	|- F = {<.x, y>. | ph}
fvopab5.2	|- (x = A -> (ph <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
fvopab5	|- ((Fun F /\ A e. B) -> (F` A) = U.{y | ps})

Distinct variable groups:   x,y,A   ps,x

Proof of Theorem fvopab5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 970	. . 3 |- (z e. A -> A.y z e. A)
2		fvopab5.1	. . . 4 |- F = {<.x, y>. | ph}
3		hbopab2 2811	. . . 4 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.y z e. {<.x, y>. | ph})
4	2, 3	hbxfr 1562	. . 3 |- (z e. F -> A.y z e. F)
5	1, 4	funfv2f 3769	. 2 |- (Fun F -> (F` A) = U.{y | AFy})
6		elex 1817	. . . 4 |- (A e. B -> E.x x = A)
7		ax-17 970	. . . . . . . . 9 |- (z e. <.A, y>. -> A.x z e. <.A, y>.)
8		hbopab1 2810	. . . . . . . . 9 |- (z e. {<.x, y>. | ph} -> A.x z e. {<.x, y>. | ph})
9	7, 8	hbel 1565	. . . . . . . 8 |- (<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph} -> A.x<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph})
10		ax-17 970	. . . . . . . 8 |- (ps -> A.xps)
11	9, 10	hbbi 1009	. . . . . . 7 |- ((<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps) -> A.x(<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps))
12		opeq1 2485	. . . . . . . . 9 |- (x = A -> <.x, y>. = <.A, y>.)
13	12	eleq1d 1539	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> <.A, y>. e. {<.x, y>. | ph}))
14		fvopab5.2	. . . . . . . . 9 |- (x = A -> (ph <-> ps))
15		opabid 2807	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ph)
16	14, 15	syl5bb 531	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (<.x, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps))
17	13, 16	bitr3d 529	. . . . . . 7 |- (x = A -> (<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps))
18	11, 17	19.23ai 1063	. . . . . 6 |- (E.x x = A -> (<.A, y>. e. {<.x, y>. | ph} <-> ps))
19		df-br 2617	. . . . . . 7 |- (AFy <-> <.A, y>. e. F)
20	2	eleq2i 1537	. . . . . . 7 |- (<.A, y>. e. F <-> <.A, y>. e. {<.x, y>. | ph})
21	19, 20	bitr 173	. . . . . 6 |- (AFy <-> <.A, y>. e. {<.x, y>. | ph})
22	18, 21	syl5bb 531	. . . . 5 |- (E.x x = A -> (AFy <-> ps))
23	22	abbidv 1576	. . . 4 |- (E.x x = A -> {y | AFy} = {y | ps})
24	6, 23	syl 10	. . 3 |- (A e. B -> {y | AFy} = {y | ps})
25	24	unieqd 2509	. 2 |- (A e. B -> U.{y | AFy} = U.{y | ps})
26	5, 25	sylan9eq 1526	1 |- ((Fun F /\ A e. B) -> (F` A) = U.{y | ps})

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  {cab 1463  <.cop 2409  U.cuni 2500   class class class wbr 2616  {copab 2663  Fun wfun 3173  ` cfv 3179

This theorem is referenced by:  adjvalt 9805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195

Copyright terms: Public domain