Theorem fvopabg 3776

Description: The value of a function given by ordered-pair class abstraction.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopabg.1	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabg	|- ((A e. D /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,C,y

Proof of Theorem fvopabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvopabg.1	. . 3 |- (x = A -> B = C)
2		visset 1809	. . . . 5 |- x e. V
3	2	biantrur 724	. . . 4 |- (y = B <-> (x e. V /\ y = B))
4	3	opabbii 2666	. . 3 |- {<.x, y>. | y = B} = {<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}
5	1, 4	fvopab4g 3770	. 2 |- ((A e. V /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)
6		elisset 1813	. 2 |- (A e. D -> A e. V)
7	5, 6	sylan 448	1 |- ((A e. D /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  {copab 2661  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  fvopabgf 3778  1stval 4071  2ndval 4072  tz9.12lem3 4641  oncardval 4799  cardval 4806  limsupvalt 6469  bafval 8175  findabrcl 10352

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain