Theorem fvopabn 3725

Description: This somewhat non-intuitive theorem tells us the value of its function is the empty set when the class C it would otherwise map to is a proper class. This is a technical lemma that can help eliminate redundant sethood antecedents otherwise required by fvopabg 3724.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopabn.1	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabn	|- (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,C,y

Proof of Theorem fvopabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1788	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
2	1	snnz 2428	. . . . . . . . . 10 |- {z} =/= (/)
3		df-ne 1563	. . . . . . . . . 10 |- ({z} =/= (/) <-> -. {z} = (/))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . . . 9 |- -. {z} = (/)
5		opeq1 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z = A -> <.z, w>. = <.A, w>.)
6	5	eleq1d 1516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = A -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
7	6	ceqsexgv 1860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. V -> (E.z(z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
8		elsn 2392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. {A} <-> z = A)
9	8	anbi1i 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> (z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
10	9	exbii 1027	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> E.z(z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
11	7, 10	syl5bb 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. V -> (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
12		visset 1788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. V
13		fvopabn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = A -> B = C)
14	13	eqeq2d 1462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = A -> (y = B <-> y = C))
15		eqeq1 1457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = w -> (y = C <-> w = C))
16	14, 15	opelopabg 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. V /\ w e. V) -> (<.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> w = C))
17	12, 16	mpan2 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. V -> (<.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> w = C))
18	11, 17	bitrd 526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. V -> (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> w = C))
19	18	abbidv 1553	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. V -> {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})} = {w | w = C})
20		eleq1 1510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = C -> (w e. V <-> C e. V))
21	12, 20	mpbii 193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = C -> C e. V)
22	21	19.23aiv 1277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.w w = C -> C e. V)
23	22	con3i 98	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. C e. V -> -. E.w w = C)
24		abn0 2261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ({w | w = C} =/= (/) <-> E.w w = C)
25	24	necon1bbii 1593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. E.w w = C <-> {w | w = C} = (/))
26	23, 25	sylib 198	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. C e. V -> {w | w = C} = (/))
27	19, 26	sylan9eq 1503	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})} = (/))
28		dfima3 3357	. . . . . . . . . . . 12 |- ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})}
29	27, 28	syl5eq 1495	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = (/))
30	29	eqeq1d 1459	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> (({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> (/) = {z}))
31		eqcom 1453	. . . . . . . . . 10 |- ((/) = {z} <-> {z} = (/))
32	30, 31	syl6bb 534	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> (({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z} = (/)))
33	4, 32	mtbiri 714	. . . . . . . 8 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> -. ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
34	33	nexdv 1308	. . . . . . 7 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> -. E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
35		abn0 2261	. . . . . . . 8 |- ({z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} =/= (/) <-> E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
36	35	necon1bbii 1593	. . . . . . 7 |- (-. E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
37	34, 36	sylib 198	. . . . . 6 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
38	37	unieqd 2480	. . . . 5 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> U.{z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = U.(/))
39		df-fv 3161	. . . . 5 |- ({<.x, y>. | y = B}` A) = U.{z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}}
40	38, 39	syl5eq 1495	. . . 4 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = U.(/))
41		uni0 2493	. . . 4 |- U.(/) = (/)
42	40, 41	syl6eq 1499	. . 3 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))
43	42	ex 373	. 2 |- (A e. V -> (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/)))
44		fvprc 3660	. . 3 |- (-. A e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))
45	44	a1d 12	. 2 |- (-. A e. V -> (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/)))
46	43, 45	pm2.61i 126	1 |- (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  E.wex 956   = wceq 1099   e. wcel 1105  {cab 1440   =/= wne 1561  Vcvv 1786  (/)c0 2251  {csn 2380  <.cop 2382  U.cuni 2471  {copab 2634  "cima 3136  ` cfv 3145

This theorem is referenced by:  fvopabnf 3727

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-uni 2472  df-br 2588  df-opab 2635  df-xp 3147  df-cnv 3149  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fv 3161

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