Theorem fvopabs 3783

Description: The value of a function given by an ordered-pair class abstraction, using class substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopabs.1	|- A e. V
fvopabs.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
fvopabs	|- ({<.x, y>. | y = B}` A) = [_A / x]_B

Distinct variable groups:   x,A   y,B   x,y

Proof of Theorem fvopabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 969	. 2 |- (z e. A -> A.x z e. A)
2		fvopabs.1	. . 3 |- A e. V
3	2, 1	hbcsb1 2021	. 2 |- (z e. [_A / x]_B -> A.x z e. [_A / x]_B)
4		fvopabs.2	. . 3 |- B e. V
5	2, 4	csbex 2005	. 2 |- [_A / x]_B e. V
6		csbeq1a 2002	. 2 |- (x = A -> B = [_A / x]_B)
7	1, 3, 2, 5, 6	fvopabf 3780	1 |- ({<.x, y>. | y = B}` A) = [_A / x]_B

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  [_csb 1997  {copab 2661  ` cfv 3177

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-rex 1647  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain