Theorem fvprc 3712

Description: A function's value at a proper class is the empty set.

Assertion

Ref	Expression
fvprc	|- (-. A e. V -> (F` A) = (/))

Proof of Theorem fvprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1809	. . . . . . . . 9 |- x e. V
2	1	snnz 2454	. . . . . . . 8 |- {x} =/= (/)
3		df-ne 1584	. . . . . . . 8 |- ({x} =/= (/) <-> -. {x} = (/))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . 7 |- -. {x} = (/)
5		snprc 2439	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
6		imaeq2 3394	. . . . . . . . . . 11 |- ({A} = (/) -> (F"{A}) = (F"(/)))
7	5, 6	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- (-. A e. V -> (F"{A}) = (F"(/)))
8		ima0 3412	. . . . . . . . . 10 |- (F"(/)) = (/)
9	7, 8	syl6eq 1520	. . . . . . . . 9 |- (-. A e. V -> (F"{A}) = (/))
10	9	eqeq1d 1480	. . . . . . . 8 |- (-. A e. V -> ((F"{A}) = {x} <-> (/) = {x}))
11		eqcom 1474	. . . . . . . 8 |- ((/) = {x} <-> {x} = (/))
12	10, 11	syl6bb 535	. . . . . . 7 |- (-. A e. V -> ((F"{A}) = {x} <-> {x} = (/)))
13	4, 12	mtbiri 716	. . . . . 6 |- (-. A e. V -> -. (F"{A}) = {x})
14	13	nexdv 1324	. . . . 5 |- (-. A e. V -> -. E.x(F"{A}) = {x})
15		abn0 2286	. . . . . 6 |- ({x | (F"{A}) = {x}} =/= (/) <-> E.x(F"{A}) = {x})
16	15	necon1bbii 1614	. . . . 5 |- (-. E.x(F"{A}) = {x} <-> {x | (F"{A}) = {x}} = (/))
17	14, 16	sylib 198	. . . 4 |- (-. A e. V -> {x | (F"{A}) = {x}} = (/))
18	17	unieqd 2507	. . 3 |- (-. A e. V -> U.{x | (F"{A}) = {x}} = U.(/))
19		df-fv 3193	. . 3 |- (F` A) = U.{x | (F"{A}) = {x}}
20	18, 19	syl5eq 1516	. 2 |- (-. A e. V -> (F` A) = U.(/))
21		uni0 2520	. 2 |- U.(/) = (/)
22	20, 21	syl6eq 1520	1 |- (-. A e. V -> (F` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461   =/= wne 1582  Vcvv 1807  (/)c0 2276  {csn 2405  U.cuni 2498  "cima 3168  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  tz6.12-2 3730  ndmfv 3736  fvopabn 3777  1stval 4071  2ndval 4072  rankon 4651  ranklim 4665  r1pwcl 4667  rankuni 4678  cardval 4806  card1 4813  sdomsdomcard 4828  cardidm 4829  vafval 8174  bafval 8175  smfval 8176  0vfval 8177  vsfval 8206  domval 10535  codval 10536  idval 10537  cmpval 10538

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-cnv 3181  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain