Theorem fvresex 3857

Description: Existence of the class of values of a restricted class.

Hypothesis

Ref	Expression
fvresex.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
fvresex	|- {y | E.x y = ((F |` A)` x)} e. V

Distinct variable groups:   x,y,F   x,A,y

Proof of Theorem fvresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1813	. . . . . . 7 |- x e. V
2		fvex 3732	. . . . . . 7 |- (F` x) e. V
3		fveq2 3724	. . . . . . 7 |- (z = x -> (F` z) = (F` x))
4	1, 2, 3	fvopab 3790	. . . . . 6 |- ({<.z, w>. | w = (F` z)}` x) = (F` x)
5		fveqres 3749	. . . . . 6 |- (({<.z, w>. | w = (F` z)}` x) = (F` x) -> (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x) = ((F |` A)` x))
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . 5 |- (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x) = ((F |` A)` x)
7	6	eqeq2i 1485	. . . 4 |- (y = (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x) <-> y = ((F |` A)` x))
8	7	exbii 1051	. . 3 |- (E.x y = (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x) <-> E.x y = ((F |` A)` x))
9	8	abbii 1575	. 2 |- {y | E.x y = (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x)} = {y | E.x y = ((F |` A)` x)}
10		funopabeq 3549	. . . 4 |- Fun {<.z, w>. | w = (F` z)}
11		fvresex.1	. . . 4 |- A e. V
12		resfunexg 3579	. . . 4 |- ((Fun {<.z, w>. | w = (F` z)} /\ A e. V) -> ({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A) e. V)
13	10, 11, 12	mp2an 697	. . 3 |- ({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A) e. V
14	13	fvclex 3856	. 2 |- {y | E.x y = (({<.z, w>. | w = (F` z)} |` A)` x)} e. V
15	9, 14	eqeltrr 1545	1 |- {y | E.x y = ((F |` A)` x)} e. V

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  Vcvv 1811  {copab 2666   |` cres 3172  Fun wfun 3176  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  abrexexlem1 3858

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain