Theorem fvsn 3791

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member.

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	|- A e. V
fvsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	|- ({<.A, B>.}` A) = B

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 |- A e. V
2		fvsn.2	. . 3 |- B e. V
3	1, 2	funsn 3540	. 2 |- Fun {<.A, B>.}
4		opex 2779	. . 3 |- <.A, B>. e. V
5	4	snid 2433	. 2 |- <.A, B>. e. {<.A, B>.}
6	2	funopfv 3748	. 2 |- (Fun {<.A, B>.} -> (<.A, B>. e. {<.A, B>.} -> ({<.A, B>.}` A) = B))
7	3, 5, 6	mp2 43	1 |- ({<.A, B>.}` A) = B

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957  Vcvv 1809  {csn 2407  <.cop 2409  Fun wfun 3173  ` cfv 3179

This theorem is referenced by:  fvsnun1 3792  fopabsn 3837  mapsnen 4423  grpsn 8109  ringsn 8148  1ded 10622  1cat 10643

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fv 3195

Copyright terms: Public domain