Theorem fznt 6494

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed.

Assertion

Ref	Expression
fznt	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (N < M <-> (M...N) = (/)))

Proof of Theorem fznt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenltt 5522	. . . 4 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M <_ N <-> -. N < M))
2		zret 6141	. . . 4 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
3		zret 6141	. . . 4 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
4	1, 2, 3	syl2an 456	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M <_ N <-> -. N < M))
5		eluz2t 6422	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>` M) <-> (M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N))
6		eluzfz1t 6488	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. (M...N))
7	5, 6	sylbir 201	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> M e. (M...N))
8		n0i 2288	. . . . . 6 |- (M e. (M...N) -> -. (M...N) = (/))
9	7, 8	syl 10	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> -. (M...N) = (/))
10	9	3expia 837	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M <_ N -> -. (M...N) = (/)))
11		elfzle3 6486	. . . . . . . 8 |- ((N e. ZZ /\ k e. (M...N)) -> M <_ N)
12	11	ex 373	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> (k e. (M...N) -> M <_ N))
13	12	19.23adv 1216	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> (E.k k e. (M...N) -> M <_ N))
14		n0 2293	. . . . . 6 |- (-. (M...N) = (/) <-> E.k k e. (M...N))
15	13, 14	syl5ib 206	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (-. (M...N) = (/) -> M <_ N))
16	15	adantl 390	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (-. (M...N) = (/) -> M <_ N))
17	10, 16	impbid 518	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M <_ N <-> -. (M...N) = (/)))
18	4, 17	bitr3d 532	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (-. N < M <-> -. (M...N) = (/)))
19	18	con4bid 526	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (N < M <-> (M...N) = (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  RRcr 5245   <_ cle 5307  ZZcz 5310   < clt 5498  ZZ>cuz 6418  ...cfz 6468

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-z 6138  df-uz 6419  df-fz 6469

Copyright terms: Public domain