Theorem fzoptht 6452

Description: A finite set of sequential integers can represent an ordered pair.

Assertion

Ref	Expression
fzoptht	|- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) <-> (M = J /\ N = K)))

Proof of Theorem fzoptht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1534	. . . . . 6 |- ((M...N) = (J...K) -> (N e. (M...N) <-> N e. (J...K)))
2		eluzfz2t 6439	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. (M...N))
3	1, 2	syl5bi 208	. . . . 5 |- ((M...N) = (J...K) -> (N e. (ZZ>` M) -> N e. (J...K)))
4	3	anim1d 559	. . . 4 |- ((M...N) = (J...K) -> ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> (N e. (J...K) /\ K e. A)))
5		elfzuz2t 6436	. . . . 5 |- ((K e. A /\ N e. (J...K)) -> K e. (ZZ>` J))
6	5	ancoms 436	. . . 4 |- ((N e. (J...K) /\ K e. A) -> K e. (ZZ>` J))
7	4, 6	syl6com 53	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) -> K e. (ZZ>` J)))
8		eleq2 1534	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M...N) = (J...K) -> (J e. (M...N) <-> J e. (J...K)))
9		eluzfz1t 6437	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. (ZZ>` J) -> J e. (J...K))
10	8, 9	syl5bir 210	. . . . . . . . . . 11 |- ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> J e. (M...N)))
11		elfzle1 6433	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. (M...N) -> M <_ J)
12	10, 11	syl6com 53	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (ZZ>` J) -> ((M...N) = (J...K) -> M <_ J))
13	12	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> M <_ J))
14		eleq2 1534	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M...N) = (J...K) -> (M e. (M...N) <-> M e. (J...K)))
15		eluzfz1t 6437	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. (M...N))
16	14, 15	syl5bi 208	. . . . . . . . . . 11 |- ((M...N) = (J...K) -> (N e. (ZZ>` M) -> M e. (J...K)))
17		elfzle1 6433	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. (J...K) -> J <_ M)
18	16, 17	syl6com 53	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((M...N) = (J...K) -> J <_ M))
19	18	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> J <_ M))
20	13, 19	jcad 599	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> (M <_ J /\ J <_ M)))
21		letri3t 5504	. . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ J e. RR) -> (M = J <-> (M <_ J /\ J <_ M)))
22		eluzel2 6374	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. ZZ)
23		zret 6100	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
24	22, 23	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. RR)
25		eluzel2 6374	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (ZZ>` J) -> J e. ZZ)
26		zret 6100	. . . . . . . . . 10 |- (J e. ZZ -> J e. RR)
27	25, 26	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (K e. (ZZ>` J) -> J e. RR)
28	21, 24, 27	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> (M = J <-> (M <_ J /\ J <_ M)))
29	20, 28	sylibrd 204	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> M = J))
30		elfzle2 6434	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (J...K) -> N <_ K)
31	3, 30	syl6com 53	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((M...N) = (J...K) -> N <_ K))
32		eleq2 1534	. . . . . . . . . . 11 |- ((M...N) = (J...K) -> (K e. (M...N) <-> K e. (J...K)))
33		eluzfz2t 6439	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. (ZZ>` J) -> K e. (J...K))
34	32, 33	syl5bir 210	. . . . . . . . . 10 |- ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> K e. (M...N)))
35		elfzle2 6434	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (M...N) -> K <_ N)
36	34, 35	syl6com 53	. . . . . . . . 9 |- (K e. (ZZ>` J) -> ((M...N) = (J...K) -> K <_ N))
37	31, 36	anim12ii 558	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> (N <_ K /\ K <_ N)))
38		letri3t 5504	. . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ K e. RR) -> (N = K <-> (N <_ K /\ K <_ N)))
39		eluzelz 6373	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)
40		zret 6100	. . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
41	39, 40	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. RR)
42		eluzelz 6373	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (ZZ>` J) -> K e. ZZ)
43		zret 6100	. . . . . . . . . 10 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
44	42, 43	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (K e. (ZZ>` J) -> K e. RR)
45	38, 41, 44	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> (N = K <-> (N <_ K /\ K <_ N)))
46	37, 45	sylibrd 204	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> N = K))
47	29, 46	jcad 599	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> (M = J /\ N = K)))
48	47	ex 373	. . . . 5 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (ZZ>` J) -> ((M...N) = (J...K) -> (M = J /\ N = K))))
49	48	com23 32	. . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> (M = J /\ N = K))))
50	49	adantr 389	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> (M = J /\ N = K))))
51	7, 50	mpdd 46	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) -> (M = J /\ N = K)))
52		opreq12 3967	. 2 |- ((M = J /\ N = K) -> (M...N) = (J...K))
53	51, 52	impbid1 516	1 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) <-> (M = J /\ N = K)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957   class class class wbr 2616  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  RRcr 5220   <_ cle 5282  ZZcz 5285  ZZ>cuz 6367  ...cfz 6417

This theorem is referenced by:  dffsum 6966

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-inf2 4612

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-ltp 5077  df-enr 5153  df-nr 5154  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-c 5227  df-r 5231  df-lt 5234  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-z 6097  df-uz 6368  df-fz 6418

Copyright terms: Public domain