Theorem fzss1t 6435

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers.

Assertion

Ref	Expression
fzss1t	|- ((K e. (ZZ>` M) /\ N e. ZZ) -> (K...N) (_ (M...N))

Proof of Theorem fzss1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 6357	. . . . . . 7 |- (K e. (ZZ>` M) -> M <_ K)
2	1	adantr 389	. . . . . 6 |- ((K e. (ZZ>` M) /\ k e. ZZ) -> M <_ K)
3		letrt 5498	. . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ K e. RR /\ k e. RR) -> ((M <_ K /\ K <_ k) -> M <_ k))
4		zret 6086	. . . . . . . . 9 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
5		zret 6086	. . . . . . . . 9 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
6		zret 6086	. . . . . . . . 9 |- (k e. ZZ -> k e. RR)
7	3, 4, 5, 6	syl3an 866	. . . . . . . 8 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ k e. ZZ) -> ((M <_ K /\ K <_ k) -> M <_ k))
8	7	3expa 831	. . . . . . 7 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ k e. ZZ) -> ((M <_ K /\ K <_ k) -> M <_ k))
9		eluzel2 6356	. . . . . . . 8 |- (K e. (ZZ>` M) -> M e. ZZ)
10		eluzelz 6355	. . . . . . . 8 |- (K e. (ZZ>` M) -> K e. ZZ)
11	9, 10	jca 288	. . . . . . 7 |- (K e. (ZZ>` M) -> (M e. ZZ /\ K e. ZZ))
12	8, 11	sylan 448	. . . . . 6 |- ((K e. (ZZ>` M) /\ k e. ZZ) -> ((M <_ K /\ K <_ k) -> M <_ k))
13	2, 12	mpand 699	. . . . 5 |- ((K e. (ZZ>` M) /\ k e. ZZ) -> (K <_ k -> M <_ k))
14	13	anim1d 558	. . . 4 |- ((K e. (ZZ>` M) /\ k e. ZZ) -> ((K <_ k /\ k <_ N) -> (M <_ k /\ k <_ N)))
15	14	ss2rabdv 2117	. . 3 |- (K e. (ZZ>` M) -> {k e. ZZ | (K <_ k /\ k <_ N)} (_ {k e. ZZ | (M <_ k /\ k <_ N)})
16	15	adantr 389	. 2 |- ((K e. (ZZ>` M) /\ N e. ZZ) -> {k e. ZZ | (K <_ k /\ k <_ N)} (_ {k e. ZZ | (M <_ k /\ k <_ N)})
17		fzvalt 6401	. . 3 |- ((K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K...N) = {k e. ZZ | (K <_ k /\ k <_ N)})
18	17, 10	sylan 448	. 2 |- ((K e. (ZZ>` M) /\ N e. ZZ) -> (K...N) = {k e. ZZ | (K <_ k /\ k <_ N)})
19		fzvalt 6401	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M...N) = {k e. ZZ | (M <_ k /\ k <_ N)})
20	19, 9	sylan 448	. 2 |- ((K e. (ZZ>` M) /\ N e. ZZ) -> (M...N) = {k e. ZZ | (M <_ k /\ k <_ N)})
21	16, 18, 20	3sstr4d 2094	1 |- ((K e. (ZZ>` M) /\ N e. ZZ) -> (K...N) (_ (M...N))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  {crab 1640   (_ wss 2037   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205   <_ cle 5267  ZZcz 5270  ZZ>cuz 6349  ...cfz 6399

This theorem is referenced by:  fzp1sst 6439  fsumsplit 6958  fsumcmpndx2 6980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-z 6083  df-uz 6350  df-fz 6400

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