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Theorem gaorber 15077
Description: The orbit equivalence relation is an equivalence relation on the target set of the group action. (Contributed by NM, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gaorb.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
gaorber.2  |-  X  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
gaorber  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
Distinct variable groups:    x, g,
y,  .(+)    g, X, x, y   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    .~ ( x, y, g)    G( x, y, g)    Y( g)

Proof of Theorem gaorber
Dummy variables  h  f  k  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gaorb.1 . . . 4  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
21relopabi 4992 . . 3  |-  Rel  .~
32a1i 11 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  Rel  .~  )
4 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  u  .~  v )
51gaorb 15076 . . . . 5  |-  ( u  .~  v  <->  ( u  e.  Y  /\  v  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  v ) )
64, 5sylib 189 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  (
u  e.  Y  /\  v  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v ) )
76simp2d 970 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  v  e.  Y )
86simp1d 969 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  u  e.  Y )
96simp3d 971 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  v )
10 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
11 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  h  e.  X )
128adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  u  e.  Y )
137adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  v  e.  Y )
14 gaorber.2 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
15 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
1614, 15gacan 15074 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  u  e.  Y  /\  v  e.  Y )
)  ->  ( (
h  .(+)  u )  =  v  <->  ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u ) )
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( h  .(+)  u )  =  v  <->  ( (
( inv g `  G ) `  h
)  .(+)  v )  =  u ) )
18 gagrp 15061 . . . . . . . . 9  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
1918adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  G  e.  Grp )
2014, 15grpinvcl 14842 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  h  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X )
2119, 20sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X )
22 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( ( inv g `  G ) `
 h )  -> 
( k  .(+)  v )  =  ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v ) )
2322eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( ( inv g `  G ) `
 h )  -> 
( ( k  .(+)  v )  =  u  <->  ( (
( inv g `  G ) `  h
)  .(+)  v )  =  u ) )
2423rspcev 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X  /\  ( ( ( inv g `  G ) `
 h )  .(+)  v )  =  u )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u )
2524ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  h
)  e.  X  -> 
( ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2621, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( ( ( inv g `  G
) `  h )  .(+)  v )  =  u  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2717, 26sylbid 207 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  /\  h  e.  X )  ->  ( ( h  .(+)  u )  =  v  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
2827rexlimdva 2822 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
299, 28mpd 15 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u )
301gaorb 15076 . . 3  |-  ( v  .~  u  <->  ( v  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  u ) )
317, 8, 29, 30syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  .~  v )  ->  v  .~  u )
328adantrr 698 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  u  e.  Y
)
33 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  v  .~  w
)
341gaorb 15076 . . . . 5  |-  ( v  .~  w  <->  ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
3533, 34sylib 189 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( v  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
3635simp2d 970 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  w  e.  Y
)
379adantrr 698 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v )
3835simp3d 971 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w )
39 reeanv 2867 . . . . 5  |-  ( E. h  e.  X  E. k  e.  X  (
( h  .(+)  u )  =  v  /\  (
k  .(+)  v )  =  w )  <->  ( E. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  v  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w ) )
4018ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  G  e.  Grp )
41 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  k  e.  X
)
42 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  h  e.  X
)
43 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4414, 43grpcl 14810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  k  e.  X  /\  h  e.  X )  ->  ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X )
4540, 41, 42, 44syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X
)
46 simpll 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  .(+)  e.  ( G 
GrpAct  Y ) )
4732adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  u  e.  Y
)
4814, 43gaass 15066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  u  e.  Y )
)  ->  ( (
k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  ( k 
.(+)  ( h  .(+)  u ) ) )
4946, 41, 42, 47, 48syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( ( k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  ( k 
.(+)  ( h  .(+)  u ) ) )
50 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( h  .(+)  u )  =  v )
5150oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k  .(+)  ( h  .(+)  u )
)  =  ( k 
.(+)  v ) )
52 simprrr 742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( k  .(+)  v )  =  w )
5349, 51, 523eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  ( ( k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  w )
54 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( k ( +g  `  G ) h )  ->  (
f  .(+)  u )  =  ( ( k ( +g  `  G ) h )  .(+)  u ) )
5554eqeq1d 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( k ( +g  `  G ) h )  ->  (
( f  .(+)  u )  =  w  <->  ( (
k ( +g  `  G
) h )  .(+)  u )  =  w ) )
5655rspcev 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k ( +g  `  G ) h )  e.  X  /\  (
( k ( +g  `  G ) h ) 
.(+)  u )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
5745, 53, 56syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
( h  e.  X  /\  k  e.  X
)  /\  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w ) ) )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
5857expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  ( u  .~  v  /\  v  .~  w
) )  /\  (
h  e.  X  /\  k  e.  X )
)  ->  ( (
( h  .(+)  u )  =  v  /\  (
k  .(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
5958rexlimdvva 2829 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( E. h  e.  X  E. k  e.  X  ( (
h  .(+)  u )  =  v  /\  ( k 
.(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6039, 59syl5bir 210 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  ( ( E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  v  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  v )  =  w )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6137, 38, 60mp2and 661 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w )
621gaorb 15076 . . 3  |-  ( u  .~  w  <->  ( u  e.  Y  /\  w  e.  Y  /\  E. f  e.  X  ( f  .(+)  u )  =  w ) )
6332, 36, 61, 62syl3anbrc 1138 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  (
u  .~  v  /\  v  .~  w ) )  ->  u  .~  w
)
6418adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
65 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
6614, 65grpidcl 14825 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
6764, 66syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
6865gagrpid 15063 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  u )  =  u )
69 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  ( 0g `  G )  ->  (
h  .(+)  u )  =  ( ( 0g `  G )  .(+)  u ) )
7069eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( h  =  ( 0g `  G )  ->  (
( h  .(+)  u )  =  u  <->  ( ( 0g `  G )  .(+)  u )  =  u ) )
7170rspcev 3044 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  ( ( 0g `  G )  .(+)  u )  =  u )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )
7267, 68, 71syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  u  e.  Y )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u )
7372ex 424 . . . . 5  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) )
7473pm4.71rd 617 . . . 4  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u  /\  u  e.  Y
) ) )
75 df-3an 938 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )  <->  ( (
u  e.  Y  /\  u  e.  Y )  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u ) )
76 anidm 626 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y )  <->  u  e.  Y )
7776anbi2ci 678 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y
)  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u )  <->  ( E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u  /\  u  e.  Y
) )
7875, 77bitri 241 . . . 4  |-  ( ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u )  <->  ( E. h  e.  X  (
h  .(+)  u )  =  u  /\  u  e.  Y ) )
7974, 78syl6bbr 255 . . 3  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) ) )
801gaorb 15076 . . 3  |-  ( u  .~  u  <->  ( u  e.  Y  /\  u  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
u )  =  u ) )
8179, 80syl6bbr 255 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  ( u  e.  Y  <->  u  .~  u
) )
823, 31, 63, 81iserd 6923 1  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698    C_ wss 3312   {cpr 3807   class class class wbr 4204   {copab 4257   Rel wrel 4875   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    Er wer 6894   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   inv gcminusg 14678    GrpAct cga 15058
This theorem is referenced by:  sylow1lem3  15226  sylow1lem5  15228  sylow2alem1  15243  sylow2alem2  15244  sylow2a  15245  sylow3lem3  15255
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-map 7012  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-ga 15059
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