Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchdomtri Structured version   Unicode version

Theorem gchdomtri 8509
 Description: Under certain conditions, a GCH-set can demonstrate trichotomy of dominance. Lemma for gchac 8561. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchdomtri GCH

Proof of Theorem gchdomtri
StepHypRef Expression
1 sdomdom 7138 . . . . 5
21con3i 130 . . . 4
3 reldom 7118 . . . . . . 7
43brrelexi 4921 . . . . . 6
543ad2ant3 981 . . . . 5 GCH
6 fidomtri2 7886 . . . . 5
75, 6sylan 459 . . . 4 GCH
82, 7syl5ibr 214 . . 3 GCH
98orrd 369 . 2 GCH
10 simp1 958 . . . . 5 GCH GCH
1110adantr 453 . . . 4 GCH GCH
12 simpr 449 . . . 4 GCH
13 cdadom3 8073 . . . . . 6 GCH
1410, 5, 13syl2anc 644 . . . . 5 GCH
1514adantr 453 . . . 4 GCH
16 cdalepw 8081 . . . . . 6
17163adant1 976 . . . . 5 GCH
1817adantr 453 . . . 4 GCH
19 gchor 8507 . . . 4 GCH
2011, 12, 15, 18, 19syl22anc 1186 . . 3 GCH
21 cdadom3 8073 . . . . . . . . 9 GCH
225, 10, 21syl2anc 644 . . . . . . . 8 GCH
23 cdacomen 8066 . . . . . . . 8
24 domentr 7169 . . . . . . . 8
2522, 23, 24sylancl 645 . . . . . . 7 GCH
26 domen2 7253 . . . . . . 7
2725, 26syl5ibrcom 215 . . . . . 6 GCH
2827imp 420 . . . . 5 GCH
2928olcd 384 . . . 4 GCH
30 simpl1 961 . . . . . . 7 GCH GCH
31 canth2g 7264 . . . . . . 7 GCH
32 sdomdom 7138 . . . . . . 7
3330, 31, 323syl 19 . . . . . 6 GCH
34 simpl2 962 . . . . . . . . 9 GCH
35 pwen 7283 . . . . . . . . 9
3634, 35syl 16 . . . . . . . 8 GCH
37 enen2 7251 . . . . . . . . 9
3837adantl 454 . . . . . . . 8 GCH
3936, 38mpbird 225 . . . . . . 7 GCH
40 endom 7137 . . . . . . 7
41 pwcdadom 8101 . . . . . . 7
4239, 40, 413syl 19 . . . . . 6 GCH
43 domtr 7163 . . . . . 6
4433, 42, 43syl2anc 644 . . . . 5 GCH
4544orcd 383 . . . 4 GCH
4629, 45jaodan 762 . . 3 GCH
4720, 46syldan 458 . 2 GCH
489, 47pm2.61dan 768 1 GCH
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 937   wcel 1726  cvv 2958  cpw 3801   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   cen 7109   cdom 7110   csdm 7111  cfn 7112   ccda 8052  GCHcgch 8500 This theorem is referenced by:  gchaclem  8558 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-1o 6727  df-2o 6728  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-wdom 7530  df-card 7831  df-cda 8053  df-gch 8501
 Copyright terms: Public domain W3C validator