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Theorem gchina 8323
Description: Assuming the GCH, weakly and strongly inaccessible cardinals coincide. Theorem 11.20 of [TakeutiZaring] p. 106. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchina  |-  (GCH  =  _V  ->  Inacc W  =  Inacc )

Proof of Theorem gchina
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . . 5  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  ->  x  e.  Inacc W )
2 idd 21 . . . . . . 7  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  -> 
( x  =/=  (/)  ->  x  =/=  (/) ) )
3 idd 21 . . . . . . 7  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  -> 
( ( cf `  x
)  =  x  -> 
( cf `  x
)  =  x ) )
4 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  x  e.  Inacc W )
5 pwfi 7153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
6 isfinite 7355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P y  e.  Fin  <->  ~P y  ~<  om )
7 winainf 8318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  om  C_  x
)
8 ssdomg 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  ( om  C_  x  ->  om  ~<_  x ) )
97, 8mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  om  ~<_  x )
10 sdomdomtr 6996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ~P y  ~<  om  /\  om  ~<_  x )  ->  ~P y  ~<  x )
1110expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( om  ~<_  x  ->  ( ~P y  ~<  om  ->  ~P y  ~<  x ) )
129, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  ( ~P y  ~<  om  ->  ~P y  ~<  x )
)
136, 12syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  ( ~P y  e.  Fin  ->  ~P y  ~<  x
) )
145, 13syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  (
y  e.  Fin  ->  ~P y  ~<  x )
)
154, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  (
y  e.  Fin  ->  ~P y  ~<  x )
)
1615a1dd 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  (
y  e.  Fin  ->  ( y  ~<  z  ->  ~P y  ~<  x )
) )
17 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
18 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> GCH  =  _V )
1917, 18syl5eleqr 2372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> 
y  e. GCH )
20 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  ->  -.  y  e.  Fin )
21 gchinf 8281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e. GCH  /\  -.  y  e.  Fin )  ->  om  ~<_  y )
2219, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  ->  om 
~<_  y )
23 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
2423, 18syl5eleqr 2372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> 
z  e. GCH )
25 gchpwdom 8298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( om  ~<_  y  /\  y  e. GCH  /\  z  e. GCH )  ->  ( y  ~<  z  <->  ~P y  ~<_  z ) )
2622, 19, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> 
( y  ~<  z  <->  ~P y  ~<_  z ) )
27 winacard 8316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  ( card `  x )  =  x )
28 iscard 7610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
card `  x )  =  x  <->  ( x  e.  On  /\  A. z  e.  x  z  ~<  x ) )
2928simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
card `  x )  =  x  ->  A. z  e.  x  z  ~<  x )
3027, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Inacc W  ->  A. z  e.  x  z  ~<  x )
3130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  ->  A. z  e.  x  z  ~<  x )
3231r19.21bi 2643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  z  ~<  x )
33 domsdomtr 6998 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ~P y  ~<_  z  /\  z  ~<  x )  ->  ~P y  ~<  x )
3433expcom 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z 
~<  x  ->  ( ~P y  ~<_  z  ->  ~P y  ~<  x ) )
3532, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  ( ~P y  ~<_  z  ->  ~P y  ~<  x )
)
3635adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> 
( ~P y  ~<_  z  ->  ~P y  ~<  x ) )
3726, 36sylbid 206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  ( z  e.  x  /\  -.  y  e.  Fin ) )  -> 
( y  ~<  z  ->  ~P y  ~<  x
) )
3837expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  ( -.  y  e.  Fin  ->  ( y  ~<  z  ->  ~P y  ~<  x
) ) )
3916, 38pm2.61d 150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  /\  z  e.  x )  ->  (
y  ~<  z  ->  ~P y  ~<  x ) )
4039rexlimdva 2669 . . . . . . . 8  |-  ( ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  /\  y  e.  x
)  ->  ( E. z  e.  x  y  ~<  z  ->  ~P y  ~<  x ) )
4140ralimdva 2623 . . . . . . 7  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  -> 
( A. y  e.  x  E. z  e.  x  y  ~<  z  ->  A. y  e.  x  ~P y  ~<  x ) )
422, 3, 413anim123d 1259 . . . . . 6  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  -> 
( ( x  =/=  (/)  /\  ( cf `  x
)  =  x  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  x  y  ~<  z )  ->  (
x  =/=  (/)  /\  ( cf `  x )  =  x  /\  A. y  e.  x  ~P y  ~<  x ) ) )
43 elwina 8310 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc W  <->  ( x  =/=  (/)  /\  ( cf `  x )  =  x  /\  A. y  e.  x  E. z  e.  x  y  ~<  z
) )
44 elina 8311 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Inacc 
<->  ( x  =/=  (/)  /\  ( cf `  x )  =  x  /\  A. y  e.  x  ~P y  ~<  x ) )
4542, 43, 443imtr4g 261 . . . . 5  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  -> 
( x  e.  Inacc W  ->  x  e.  Inacc ) )
461, 45mpd 14 . . . 4  |-  ( (GCH  =  _V  /\  x  e.  Inacc W )  ->  x  e.  Inacc )
4746ex 423 . . 3  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  e. 
Inacc W  ->  x  e. 
Inacc ) )
48 inawina 8314 . . 3  |-  ( x  e.  Inacc  ->  x  e.  Inacc W )
4947, 48impbid1 194 . 2  |-  (GCH  =  _V  ->  ( x  e. 
Inacc W  <->  x  e.  Inacc ) )
5049eqrdv 2283 1  |-  (GCH  =  _V  ->  Inacc W  =  Inacc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627   class class class wbr 4025   Oncon0 4394   omcom 4658   ` cfv 5257    ~<_ cdom 6863    ~< csdm 6864   Fincfn 6865   cardccrd 7570   cfccf 7572  GCHcgch 8244   Inacc Wcwina 8306   Inacccina 8307
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-seqom 6462  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-omul 6486  df-oexp 6487  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-oi 7227  df-har 7274  df-wdom 7275  df-cnf 7365  df-card 7574  df-cf 7576  df-cda 7796  df-fin4 7915  df-gch 8245  df-wina 8308  df-ina 8309
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