MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchinf Unicode version

Theorem gchinf 8281
Description: An infinite GCH-set is Dedekind-infinite. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
gchinf  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  A )

Proof of Theorem gchinf
StepHypRef Expression
1 gchcda1 8280 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  +c  1o )  ~~  A )
2 ensym 6912 . . 3  |-  ( ( A  +c  1o ) 
~~  A  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
4 isfin4-2 7942 . . . 4  |-  ( A  e. GCH  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
54adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( A  e. FinIV  <->  -.  om  ~<_  A ) )
6 isfin4-3 7943 . . . 4  |-  ( A  e. FinIV  <-> 
A  ~<  ( A  +c  1o ) )
7 sdomnen 6892 . . . 4  |-  ( A 
~<  ( A  +c  1o )  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
86, 7sylbi 187 . . 3  |-  ( A  e. FinIV  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) )
95, 8syl6bir 220 . 2  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  ( -.  om  ~<_  A  ->  -.  A  ~~  ( A  +c  1o ) ) )
103, 9mt4d 130 1  |-  ( ( A  e. GCH  /\  -.  A  e.  Fin )  ->  om  ~<_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   omcom 4658  (class class class)co 5860   1oc1o 6474    ~~ cen 6862    ~<_ cdom 6863    ~< csdm 6864   Fincfn 6865    +c ccda 7795  FinIVcfin4 7908  GCHcgch 8244
This theorem is referenced by:  gchcdaidm  8292  gchxpidm  8293  gchina  8323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-fin4 7915  df-gch 8245
  Copyright terms: Public domain W3C validator