Theorem genpcl 5111

Description: Closure of an operation on reals.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
genpcl.2	|- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (xGy) e. Q.)
genpcl.3	|- (h e. Q. -> (f <Q g <-> (hGf) <Q (hGg)))
genpcl.4	|- (xGy) = (yGx)
genpcl.5	|- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (gGh) -> x e. (AFB)))

Assertion

Ref	Expression
genpcl	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) e. P.)

Distinct variable groups:   x,y,z,f,g,h,A   x,B,y,z,f,g,h,w,v   x,u,G   y,w,v,u,G,z,f,g,h   f,F,g   w,A,v   w,B,v   x,F,y,w,v,h

Proof of Theorem genpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . . 5 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
2	1	genpn0 5106	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (/) (. (AFB))
3		genpcl.2	. . . . . . . 8 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (xGy) e. Q.)
4	3	caoprcl 4052	. . . . . . 7 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (gGh) e. Q.)
5	1, 4	genpss 5107	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) (_ Q.)
6	3	caoprcl 4052	. . . . . . 7 |- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> (wGv) e. Q.)
7		visset 1813	. . . . . . . 8 |- x e. V
8		visset 1813	. . . . . . . 8 |- y e. V
9		genpcl.3	. . . . . . . 8 |- (h e. Q. -> (f <Q g <-> (hGf) <Q (hGg)))
10	7, 8, 9	caoprord 4056	. . . . . . 7 |- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (zGx) <Q (zGy)))
11		genpcl.4	. . . . . . 7 |- (xGy) = (yGx)
12	1, 6, 10, 11	genpnnp 5108	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (AFB) = Q.)
13	5, 12	jca 288	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((AFB) (_ Q. /\ -. (AFB) = Q.))
14		dfpss2 2133	. . . . 5 |- ((AFB) (. Q. <-> ((AFB) (_ Q. /\ -. (AFB) = Q.))
15	13, 14	sylibr 200	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) (. Q.)
16	2, 15	jca 288	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((/) (. (AFB) /\ (AFB) (. Q.))
17		genpcl.5	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (gGh) -> x e. (AFB)))
18	1, 17	genpcd 5109	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> (x <Q f -> x e. (AFB))))
19	18	19.21adv 1288	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> A.x(x <Q f -> x e. (AFB))))
20		visset 1813	. . . . . . . 8 |- z e. V
21		visset 1813	. . . . . . . 8 |- w e. V
22	20, 21, 9	caoprord 4056	. . . . . . 7 |- (v e. Q. -> (z <Q w <-> (vGz) <Q (vGw)))
23	20, 21, 11	caoprcom 4053	. . . . . . 7 |- (zGw) = (wGz)
24	1, 22, 23	genpnmax 5110	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> E.x(x e. (AFB) /\ f <Q x)))
25		df-rex 1650	. . . . . 6 |- (E.x e. (AFB)f <Q x <-> E.x(x e. (AFB) /\ f <Q x))
26	24, 25	syl6ibr 213	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> E.x e. (AFB)f <Q x))
27	19, 26	jcad 600	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> (A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
28	27	r19.21aiv 1713	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x))
29	16, 28	jca 288	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((/) (. (AFB) /\ (AFB) (. Q.) /\ A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
30		elnp 5092	. 2 |- ((AFB) e. P. <-> (((/) (. (AFB) /\ (AFB) (. Q.) /\ A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
31	29, 30	sylibr 200	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) e. P.)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  A.wral 1645  E.wrex 1646   (_ wss 2047   (. wpss 2048  (/)c0 2280   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  {copab2 3964  Q.cnq 4979   <Q cltq 4984  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  addclpr 5120  mulclpr 5122

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-mi 5002  df-lti 5003  df-enq 5037  df-nq 5038  df-ltq 5042  df-np 5086

Copyright terms: Public domain