Theorem genpdm 5105

Description: Domain of general operation on positive reals.

Hypothesis

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}

Assertion

Ref	Expression
genpdm	|- dom F = (P. X. P.)

Distinct variable group:   x,y,z,w,v,u,G

Proof of Theorem genpdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmoprab 4002	. 2 |- dom {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})} = {<.w, v>. | E.u((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
2		genp.1	. . 3 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
3	2	dmeqi 3312	. 2 |- dom F = dom {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
4		df-xp 3184	. . 3 |- (P. X. P.) = {<.w, v>. | (w e. P. /\ v e. P.)}
5		19.42v 1308	. . . . 5 |- (E.u((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)}) <-> ((w e. P. /\ v e. P.) /\ E.u u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)}))
6		visset 1813	. . . . . . 7 |- w e. V
7		visset 1813	. . . . . . 7 |- v e. V
8	6, 7	oprvalex 4041	. . . . . 6 |- {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)} e. V
9	8	isseti 1815	. . . . 5 |- E.u u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)}
10	5, 9	mpbiran2 729	. . . 4 |- (E.u((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)}) <-> (w e. P. /\ v e. P.))
11	10	opabbii 2671	. . 3 |- {<.w, v>. | E.u((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})} = {<.w, v>. | (w e. P. /\ v e. P.)}
12	4, 11	eqtr4 1498	. 2 |- (P. X. P.) = {<.w, v>. | E.u((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
13	1, 3, 12	3eqtr4 1505	1 |- dom F = (P. X. P.)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  E.wrex 1646  {copab 2666   X. cxp 3168  dom cdm 3170  (class class class)co 3963  {copab2 3964  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  dmplp 5115  dmmp 5116

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966

Copyright terms: Public domain