Theorem genpn0 5089

Description: The result of an operation on positive reals is not empty.

Hypothesis

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}

Assertion

Ref	Expression
genpn0	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (/) (. (AFB))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,w,v,u,G,y,z

Proof of Theorem genpn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 5076	. . . . . 6 |- (A e. P. -> A =/= (/))
2		ne0 2285	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> E.g g e. A)
3	1, 2	sylib 198	. . . . 5 |- (A e. P. -> E.g g e. A)
4		prn0 5076	. . . . . 6 |- (B e. P. -> B =/= (/))
5		ne0 2285	. . . . . 6 |- (B =/= (/) <-> E.h h e. B)
6	4, 5	sylib 198	. . . . 5 |- (B e. P. -> E.h h e. B)
7	3, 6	anim12i 333	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.g g e. A /\ E.h h e. B))
8		exrot3 1098	. . . . 5 |- (E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> E.gE.hE.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)))
9		19.42v 1307	. . . . . . 7 |- (E.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> ((g e. A /\ h e. B) /\ E.f f = (gGh)))
10		oprex 3978	. . . . . . . 8 |- (gGh) e. V
11	10	isseti 1812	. . . . . . 7 |- E.f f = (gGh)
12	9, 11	mpbiran2 728	. . . . . 6 |- (E.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> (g e. A /\ h e. B))
13	12	2exbii 1051	. . . . 5 |- (E.gE.hE.f((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> E.gE.h(g e. A /\ h e. B))
14		eeanv 1322	. . . . 5 |- (E.gE.h(g e. A /\ h e. B) <-> (E.g g e. A /\ E.h h e. B))
15	8, 13, 14	3bitr 177	. . . 4 |- (E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) <-> (E.g g e. A /\ E.h h e. B))
16	7, 15	sylibr 200	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)))
17		genp.1	. . . . . 6 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
18	17	genpv 5085	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) = {f | E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))})
19	18	abeq2d 1570	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) <-> E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))))
20	19	exbidv 1278	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.f f e. (AFB) <-> E.fE.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))))
21	16, 20	mpbird 196	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> E.f f e. (AFB))
22		0pss 2305	. . 3 |- ((/) (. (AFB) <-> (AFB) =/= (/))
23		ne0 2285	. . 3 |- ((AFB) =/= (/) <-> E.f f e. (AFB))
24	22, 23	bitr 173	. 2 |- ((/) (. (AFB) <-> E.f f e. (AFB))
25	21, 24	sylibr 200	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (/) (. (AFB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  {cab 1462   =/= wne 1583  E.wrex 1644   (. wpss 2045  (/)c0 2277  (class class class)co 3958  {copab2 3959  P.cnp 4968

This theorem is referenced by:  genpcl 5094

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-fv 3194  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-qs 4259  df-ni 4983  df-nq 5021  df-np 5069

Copyright terms: Public domain