MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoihalfsum Structured version   Unicode version

Theorem geoihalfsum 12661
Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 12658. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 12660 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
geoihalfsum  |-  sum_ k  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  =  1

Proof of Theorem geoihalfsum
StepHypRef Expression
1 2cn 10072 . . . . 5  |-  2  e.  CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  e.  CC )
3 2ne0 10085 . . . . 5  |-  2  =/=  0
43a1i 11 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  2  =/=  0 )
5 nnz 10305 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
62, 4, 5exprecd 11533 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
76sumeq2i 12495 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  sum_ k  e.  NN  (
1  /  ( 2 ^ k ) )
81, 3reccli 9746 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
9 2re 10071 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
109, 3rereccli 9781 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
11 0le1 9553 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
12 1re 9092 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
13 2pos 10084 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
14 ge0div 9879 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  0  <  2 )  ->  (
0  <_  1  <->  0  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1512, 9, 13, 14mp3an 1280 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  1  <->  0  <_  ( 1  /  2 ) )
1611, 15mpbi 201 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
17 absid 12103 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
1810, 16, 17mp2an 655 . . . . 5  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  =  ( 1  /  2 )
19 halflt1 10191 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  <  1
2018, 19eqbrtri 4233 . . . 4  |-  ( abs `  ( 1  /  2
) )  <  1
21 geoisum1 12658 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( 1  /  2 ) )  <  1 )  ->  sum_ k  e.  NN  (
( 1  /  2
) ^ k )  =  ( ( 1  /  2 )  / 
( 1  -  (
1  /  2 ) ) ) )
228, 20, 21mp2an 655 . . 3  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  ( ( 1  /  2
)  /  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) ) )
23 1mhlfehlf 10192 . . . 4  |-  ( 1  -  ( 1  / 
2 ) )  =  ( 1  /  2
)
2423oveq2i 6094 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  /  ( 1  -  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  /  (
1  /  2 ) )
25 ax-1cn 9050 . . . . 5  |-  1  e.  CC
26 ax-1ne0 9061 . . . . 5  |-  1  =/=  0
2725, 1, 26, 3divne0i 9764 . . . 4  |-  ( 1  /  2 )  =/=  0
288, 27dividi 9749 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 )  /  ( 1  / 
2 ) )  =  1
2922, 24, 283eqtri 2462 . 2  |-  sum_ k  e.  NN  ( ( 1  /  2 ) ^
k )  =  1
307, 29eqtr3i 2460 1  |-  sum_ k  e.  NN  ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   ^cexp 11384   abscabs 12041   sum_csu 12481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-pm 7023  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482
  Copyright terms: Public domain W3C validator