Theorem geoisum1 7244

Description: The infinite sum of A^1 + A^2... is (A / (1 - A)).

Assertion

Ref	Expression
geoisum1	|- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> sum_k e. NN (A^k) = (A / (1 - A)))

Distinct variable group:   A,k

Proof of Theorem geoisum1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . . . 5 |- {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))} = {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))}
2	1	geolim1 7239	. . . 4 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> ( + seq1 {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))}) ~~> (A / (1 - A)))
3		addex 5329	. . . . 5 |- + e. V
4		nnex 5935	. . . . . 6 |- NN e. V
5	4	opabex2 3616	. . . . 5 |- {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))} e. V
6	3, 5	seq1seqz 6542	. . . 4 |- ( + seq1 {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))}) = (<.1, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))})
7	2, 6	syl5eqbrr 2654	. . 3 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> (<.1, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))}) ~~> (A / (1 - A)))
8		1z 6161	. . . 4 |- 1 e. ZZ
9		oprex 3989	. . . . 5 |- (A^k) e. V
10		elnnuz 6441	. . . . . . 7 |- (k e. NN <-> k e. (ZZ>` 1))
11	10	anbi1i 483	. . . . . 6 |- ((k e. NN /\ y = (A^k)) <-> (k e. (ZZ>` 1) /\ y = (A^k)))
12	11	opabbii 2676	. . . . 5 |- {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))} = {<.k, y>. | (k e. (ZZ>` 1) /\ y = (A^k))}
13		oprex 3989	. . . . 5 |- (A / (1 - A)) e. V
14	9, 12, 13	isumclim4t 7201	. . . 4 |- ((1 e. ZZ /\ (<.1, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))}) ~~> (A / (1 - A))) -> sum_k e. (ZZ>` 1)(A^k) = (A / (1 - A)))
15	8, 14	mpan 697	. . 3 |- ((<.1, + >. seq {<.k, y>. | (k e. NN /\ y = (A^k))}) ~~> (A / (1 - A)) -> sum_k e. (ZZ>` 1)(A^k) = (A / (1 - A)))
16	7, 15	syl 10	. 2 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> sum_k e. (ZZ>` 1)(A^k) = (A / (1 - A)))
17		nnuz 6440	. . 3 |- NN = (ZZ>` 1)
18	17	sumeq1i 6987	. 2 |- sum_k e. NN (A^k) = sum_k e. (ZZ>` 1)(A^k)
19	16, 18	syl5eq 1522	1 |- ((A e. CC /\ (abs` A) < 1) -> sum_k e. NN (A^k) = (A / (1 - A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415   class class class wbr 2624  {copab 2671  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  1c1 5247   + caddc 5249   - cmin 5304   / cdiv 5306  NNcn 5308  ZZcz 5310   < clt 5498   seq1 cseq1 6308  ZZ>cuz 6418   seq cseqz 6532  ^cexp 6569  abscabs 6751   ~~> cli 6974  sum_csu 6979

This theorem is referenced by:  geoisum1c 7245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-seq0 6535  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980

Copyright terms: Public domain