MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoser Unicode version

Theorem geoser 12287
Description: The value of the finite geometric series  1  +  A ^ 1  +  A ^ 2  +...  +  A ^
( N  -  1 ). (Contributed by NM, 12-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geoser.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
geoser.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
geoser.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
geoser  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
)  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    ph, k

Proof of Theorem geoser
StepHypRef Expression
1 geoser.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 geoser.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
3 0nn0 9947 . . . 4  |-  0  e.  NN0
43a1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
5 geoser.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 nn0uz 10229 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
75, 6syl6eleq 2348 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
81, 2, 4, 7geoserg 12286 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ 0 )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
95nn0zd 10082 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
10 fzoval 10842 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
1211sumeq1d 12139 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( A ^ k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
) )
131exp0d 11205 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
1413oveq1d 5807 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
0 )  -  ( A ^ N ) )  =  ( 1  -  ( A ^ N
) ) )
1514oveq1d 5807 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 0 )  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
168, 12, 153eqtr3d 2298 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
)  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   CCcc 8703   0cc0 8705   1c1 8706    - cmin 9005    / cdiv 9391   NN0cn0 9932   ZZcz 9991   ZZ>=cuz 10197   ...cfz 10748  ..^cfzo 10836   ^cexp 11070   sum_csu 12123
This theorem is referenced by:  geolim  12288  geolim2  12289  geo2sum  12291  geo2sum2  12292  3dvds  12553  1sgm2ppw  20401  mersenne  20428
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-sup 7162  df-oi 7193  df-card 7540  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-rp 10322  df-fz 10749  df-fzo 10837  df-seq 11013  df-exp 11071  df-hash 11304  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-clim 11927  df-sum 12124
  Copyright terms: Public domain W3C validator