MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoser Unicode version

Theorem geoser 12634
Description: The value of the finite geometric series  1  +  A ^ 1  +  A ^ 2  +...  +  A ^
( N  -  1 ). (Contributed by NM, 12-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geoser.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
geoser.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
geoser.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
geoser  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
)  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    ph, k

Proof of Theorem geoser
StepHypRef Expression
1 geoser.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 geoser.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
3 0nn0 10225 . . . 4  |-  0  e.  NN0
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
5 geoser.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 nn0uz 10509 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
75, 6syl6eleq 2525 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
81, 2, 4, 7geoserg 12633 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ 0 )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
95nn0zd 10362 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
10 fzoval 11129 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
1211sumeq1d 12483 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( A ^ k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
) )
131exp0d 11505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
1413oveq1d 6087 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
0 )  -  ( A ^ N ) )  =  ( 1  -  ( A ^ N
) ) )
1514oveq1d 6087 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 0 )  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
168, 12, 153eqtr3d 2475 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
)  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   CCcc 8977   0cc0 8979   1c1 8980    - cmin 9280    / cdiv 9666   NN0cn0 10210   ZZcz 10271   ZZ>=cuz 10477   ...cfz 11032  ..^cfzo 11123   ^cexp 11370   sum_csu 12467
This theorem is referenced by:  geolim  12635  geolim2  12636  geo2sum  12638  geo2sum2  12639  3dvds  12900  1sgm2ppw  20972  mersenne  20999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-sup 7437  df-oi 7468  df-card 7815  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-rp 10602  df-fz 11033  df-fzo 11124  df-seq 11312  df-exp 11371  df-hash 11607  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-clim 12270  df-sum 12468
  Copyright terms: Public domain W3C validator