MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoser Unicode version

Theorem geoser 12320
Description: The value of the finite geometric series  1  +  A ^ 1  +  A ^ 2  +...  +  A ^
( N  -  1 ). (Contributed by NM, 12-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
geoser.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
geoser.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
geoser.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
geoser  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
)  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    ph, k

Proof of Theorem geoser
StepHypRef Expression
1 geoser.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 geoser.2 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  1 )
3 0nn0 9976 . . . 4  |-  0  e.  NN0
43a1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
5 geoser.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 nn0uz 10258 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
75, 6syl6eleq 2375 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
81, 2, 4, 7geoserg 12319 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( A ^ k )  =  ( ( ( A ^ 0 )  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
95nn0zd 10111 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
10 fzoval 10871 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0..^ N )  =  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
1211sumeq1d 12169 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0..^ N ) ( A ^ k )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
) )
131exp0d 11234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
1413oveq1d 5835 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
0 )  -  ( A ^ N ) )  =  ( 1  -  ( A ^ N
) ) )
1514oveq1d 5835 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 0 )  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) )  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  / 
( 1  -  A
) ) )
168, 12, 153eqtr3d 2325 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( A ^ k
)  =  ( ( 1  -  ( A ^ N ) )  /  ( 1  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   CCcc 8731   0cc0 8733   1c1 8734    - cmin 9033    / cdiv 9419   NN0cn0 9961   ZZcz 10020   ZZ>=cuz 10226   ...cfz 10777  ..^cfzo 10865   ^cexp 11099   sum_csu 12153
This theorem is referenced by:  geolim  12321  geolim2  12322  geo2sum  12324  geo2sum2  12325  3dvds  12586  1sgm2ppw  20434  mersenne  20461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-isom 5231  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-sup 7190  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-fz 10778  df-fzo 10866  df-seq 11042  df-exp 11100  df-hash 11333  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716  df-clim 11957  df-sum 12154
  Copyright terms: Public domain W3C validator