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Theorem glbval 14361
Description: Value of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 19-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
glbval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
glbval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
glbval.g  |-  G  =  ( glb `  K
)
Assertion
Ref Expression
glbval  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)    B( y)    G( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)

Proof of Theorem glbval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 glbval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 glbval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 glbval.g . . . 4  |-  G  =  ( glb `  K
)
41, 2, 3glbfval 14360 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  G  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) )
54fveq1d 5663 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( G `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) ) `  S ) )
6 fvex 5675 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2450 . . . 4  |-  B  e. 
_V
87elpw2 4298 . . 3  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
9 raleq 2840 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s  x  .<_  y  <->  A. y  e.  S  x  .<_  y ) )
10 raleq 2840 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
z  .<_  y  <->  A. y  e.  S  z  .<_  y ) )
1110imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  z  .<_  y  -> 
z  .<_  x )  <->  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
1211ralbidv 2662 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )
139, 12anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) )  <->  ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
1413riotabidv 6480 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
15 eqid 2380 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z 
.<_  x ) ) ) )
16 riotaex 6482 . . . 4  |-  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) )  e. 
_V
1714, 15, 16fvmpt 5738 . . 3  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
188, 17sylbir 205 . 2  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
195, 18sylan9eq 2432 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( G `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  x  .<_  y  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  z  .<_  y  ->  z  .<_  x ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   ~Pcpw 3735   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   ` cfv 5387   iota_crio 6471   Basecbs 13389   lecple 13456   glbcglb 14320
This theorem is referenced by:  glbprop  14362  meetval2  14373  isglbd  14464  glb0N  29359  glbconN  29542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-riota 6478  df-glb 14352
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