HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  goeqi Unicode version

Theorem goeqi 22847
Description: Godowski's equation, shown here as a variant equivalent to Equation SF of [Godowski] p. 730. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
goeq.1  |-  A  e. 
CH
goeq.2  |-  B  e. 
CH
goeq.3  |-  C  e. 
CH
goeq.4  |-  F  =  ( ( _|_ `  A
)  vH  ( A  i^i  B ) )
goeq.5  |-  G  =  ( ( _|_ `  B
)  vH  ( B  i^i  C ) )
goeq.6  |-  H  =  ( ( _|_ `  C
)  vH  ( C  i^i  A ) )
goeq.7  |-  D  =  ( ( _|_ `  B
)  vH  ( B  i^i  A ) )
Assertion
Ref Expression
goeqi  |-  ( ( F  i^i  G )  i^i  H )  C_  D
Dummy variable  f is distinct from all other variables.

Proof of Theorem goeqi
StepHypRef Expression
1 goeq.4 . . . . . 6  |-  F  =  ( ( _|_ `  A
)  vH  ( A  i^i  B ) )
2 goeq.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
32choccli 21880 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  A )  e.  CH
4 goeq.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
CH
52, 4chincli 22033 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  B )  e. 
CH
63, 5chjcli 22030 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  A )  vH  ( A  i^i  B ) )  e.  CH
71, 6eqeltri 2356 . . . . 5  |-  F  e. 
CH
8 goeq.5 . . . . . 6  |-  G  =  ( ( _|_ `  B
)  vH  ( B  i^i  C ) )
94choccli 21880 . . . . . . 7  |-  ( _|_ `  B )  e.  CH
10 goeq.3 . . . . . . . 8  |-  C  e. 
CH
114, 10chincli 22033 . . . . . . 7  |-  ( B  i^i  C )  e. 
CH
129, 11chjcli 22030 . . . . . 6  |-  ( ( _|_ `  B )  vH  ( B  i^i  C ) )  e.  CH
138, 12eqeltri 2356 . . . . 5  |-  G  e. 
CH
147, 13chincli 22033 . . . 4  |-  ( F  i^i  G )  e. 
CH
15 goeq.6 . . . . 5  |-  H  =  ( ( _|_ `  C
)  vH  ( C  i^i  A ) )
1610choccli 21880 . . . . . 6  |-  ( _|_ `  C )  e.  CH
1710, 2chincli 22033 . . . . . 6  |-  ( C  i^i  A )  e. 
CH
1816, 17chjcli 22030 . . . . 5  |-  ( ( _|_ `  C )  vH  ( C  i^i  A ) )  e.  CH
1915, 18eqeltri 2356 . . . 4  |-  H  e. 
CH
2014, 19chincli 22033 . . 3  |-  ( ( F  i^i  G )  i^i  H )  e. 
CH
21 goeq.7 . . . 4  |-  D  =  ( ( _|_ `  B
)  vH  ( B  i^i  A ) )
224, 2chincli 22033 . . . . 5  |-  ( B  i^i  A )  e. 
CH
239, 22chjcli 22030 . . . 4  |-  ( ( _|_ `  B )  vH  ( B  i^i  A ) )  e.  CH
2421, 23eqeltri 2356 . . 3  |-  D  e. 
CH
2520, 24stri 22831 . 2  |-  ( A. f  e.  States  ( ( f `  ( ( F  i^i  G )  i^i  H ) )  =  1  ->  (
f `  D )  =  1 )  -> 
( ( F  i^i  G )  i^i  H ) 
C_  D )
26 eqid 2286 . . 3  |-  ( ( _|_ `  C )  vH  ( C  i^i  B ) )  =  ( ( _|_ `  C
)  vH  ( C  i^i  B ) )
27 eqid 2286 . . 3  |-  ( ( _|_ `  A )  vH  ( A  i^i  C ) )  =  ( ( _|_ `  A
)  vH  ( A  i^i  C ) )
282, 4, 10, 1, 8, 15, 21, 26, 27golem2 22846 . 2  |-  ( f  e.  States  ->  ( ( f `
 ( ( F  i^i  G )  i^i 
H ) )  =  1  ->  ( f `  D )  =  1 ) )
2925, 28mprg 2615 1  |-  ( ( F  i^i  G )  i^i  H )  C_  D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1625    e. wcel 1687    i^i cin 3154    C_ wss 3155   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   1c1 8735   CHcch 21503   _|_cort 21504    vH chj 21507   Statescst 21536
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cc 8058  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814  ax-hilex 21573  ax-hfvadd 21574  ax-hvcom 21575  ax-hvass 21576  ax-hv0cl 21577  ax-hvaddid 21578  ax-hfvmul 21579  ax-hvmulid 21580  ax-hvmulass 21581  ax-hvdistr1 21582  ax-hvdistr2 21583  ax-hvmul0 21584  ax-hfi 21652  ax-his1 21655  ax-his2 21656  ax-his3 21657  ax-his4 21658  ax-hcompl 21775
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-omul 6481  df-er 6657  df-map 6771  df-pm 6772  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-acn 7572  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-ioo 10656  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-seq 11043  df-exp 11101  df-hash 11334  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-sum 12155  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-lm 16955  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cfil 18677  df-cau 18678  df-cmet 18679  df-grpo 20852  df-gid 20853  df-ginv 20854  df-gdiv 20855  df-ablo 20943  df-subgo 20963  df-vc 21096  df-nv 21142  df-va 21145  df-ba 21146  df-sm 21147  df-0v 21148  df-vs 21149  df-nmcv 21150  df-ims 21151  df-dip 21268  df-ssp 21292  df-ph 21385  df-cbn 21436  df-hnorm 21542  df-hba 21543  df-hvsub 21545  df-hlim 21546  df-hcau 21547  df-sh 21780  df-ch 21795  df-oc 21825  df-ch0 21826  df-shs 21881  df-chj 21883  df-pjh 21968  df-st 22785
  Copyright terms: Public domain W3C validator