Theorem grothinf 8720

Description: Grothendieck's Axiom implies the Axiom of Infinity (in the form of omex 4607). Note that our proof does not depend on the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
grothinf	|- om e. V

Proof of Theorem grothinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 8716	. . . 4 |- E.y(x e. y /\ A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) /\ A.w(w (_ y -> (w ~~ y \/ w e. y)))
2		ssid 2076	. . . . . . . . . . . 12 |- w (_ w
3		sseq1 2078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = w -> (v (_ w <-> w (_ w))
4		elequ1 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = w -> (v e. z <-> w e. z))
5	3, 4	imbi12d 625	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = w -> ((v (_ w -> v e. z) <-> (w (_ w -> w e. z)))
6	5	a4v 1270	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.v(v (_ w -> v e. z) -> (w (_ w -> w e. z))
7	2, 6	mpi 44	. . . . . . . . . . 11 |- (A.v(v (_ w -> v e. z) -> w e. z)
8	7	r19.22si 1731	. . . . . . . . . 10 |- (E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z) -> E.z e. y w e. z)
9	8	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) -> E.z e. y w e. z)
10	9	r19.20si 1703	. . . . . . . 8 |- (A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) -> A.w e. y E.z e. y w e. z)
11		elequ1 1134	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = x -> (w e. z <-> x e. z))
12	11	rexbidv 1661	. . . . . . . . . . 11 |- (w = x -> (E.z e. y w e. z <-> E.z e. y x e. z))
13		df-rex 1647	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.z e. y x e. z <-> E.z(z e. y /\ x e. z))
14		exancom 1052	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.z(z e. y /\ x e. z) <-> E.z(x e. z /\ z e. y))
15	13, 14	bitr 173	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z e. y x e. z <-> E.z(x e. z /\ z e. y))
16	12, 15	syl6bb 535	. . . . . . . . . 10 |- (w = x -> (E.z e. y w e. z <-> E.z(x e. z /\ z e. y)))
17	16	cbvralv 1796	. . . . . . . . 9 |- (A.w e. y E.z e. y w e. z <-> A.x e. y E.z(x e. z /\ z e. y))
18		df-ral 1646	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. y E.z(x e. z /\ z e. y) <-> A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y)))
19	17, 18	bitr 173	. . . . . . . 8 |- (A.w e. y E.z e. y w e. z <-> A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y)))
20	10, 19	sylib 198	. . . . . . 7 |- (A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) -> A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y)))
21	20	anim2i 335	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z))) -> (x e. y /\ A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y))))
22	21	3adant3 798	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) /\ A.w(w (_ y -> (w ~~ y \/ w e. y))) -> (x e. y /\ A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y))))
23	22	19.22i 1038	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) /\ A.w(w (_ y -> (w ~~ y \/ w e. y))) -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y))))
24	1, 23	ax-mp 7	. . 3 |- E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y)))
25	24	inf2 4588	. 2 |- E.y(y =/= (/) /\ y (_ U.y)
26	25	inf3 4600	1 |- om e. V

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 774  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043   class class class wbr 2614  omcom 3126   ~~ cen 4354

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-groth 8716

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fv 3193  df-rdg 3923

Copyright terms: Public domain