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Theorem grothomex 8446
Description: The Tarski-Grothendieck Axiom implies the Axiom of Infinity (in the form of omex 7339). Note that our proof depends on neither the Axiom of Infinity nor Regularity. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
grothomex  |-  om  e.  _V
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem grothomex
StepHypRef Expression
1 r111 7442 . . . 4  |-  R1 : On
-1-1-> _V
2 omsson 4659 . . . 4  |-  om  C_  On
3 f1ores 5452 . . . 4  |-  ( ( R1 : On -1-1-> _V  /\ 
om  C_  On )  -> 
( R1  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om ) )
41, 2, 3mp2an 655 . . 3  |-  ( R1  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om )
5 f1of1 5436 . . 3  |-  ( ( R1  |`  om ) : om -1-1-onto-> ( R1 " om )  ->  ( R1  |`  om ) : om -1-1-> ( R1 " om ) )
64, 5ax-mp 10 . 2  |-  ( R1  |`  om ) : om -1-1-> ( R1 " om )
7 0ex 4151 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
8 eleq1 2344 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  y  <->  (/)  e.  y ) )
98anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  <-> 
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) ) )
109exbidv 1613 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  <->  E. y
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) ) )
11 axgroth6 8445 . . . . 5  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y
( z  ~<  y  ->  z  e.  y ) )
12 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  ->  ~P z  e.  y )
1312ralimi 2619 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y
)  ->  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )
1413anim2i 554 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y ) )  ->  (
x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
15143adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z 
~<  y  ->  z  e.  y ) )  -> 
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
1615eximi 1564 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ( ~P z  C_  y  /\  ~P z  e.  y )  /\  A. z  e.  ~P  y ( z  ~< 
y  ->  z  e.  y ) )  ->  E. y ( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y ) )
1711, 16ax-mp 10 . . . 4  |-  E. y
( x  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )
187, 10, 17vtocl 2839 . . 3  |-  E. y
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )
19 r1fnon 7434 . . . . . . . . 9  |-  R1  Fn  On
20 fvelimab 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1  Fn  On  /\  om  C_  On )  ->  (
w  e.  ( R1
" om )  <->  E. x  e.  om  ( R1 `  x )  =  w ) )
2119, 2, 20mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( R1 " om )  <->  E. x  e.  om  ( R1 `  x )  =  w )
22 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
2322eleq1d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  x )  e.  y  <->  ( R1 `  (/) )  e.  y
) )
24 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  w
) )
2524eleq1d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( R1 `  x
)  e.  y  <->  ( R1 `  w )  e.  y ) )
26 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  w )
)
2726eleq1d 2350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  w  -> 
( ( R1 `  x )  e.  y  <-> 
( R1 `  suc  w )  e.  y ) )
28 r10 7435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
2928eleq1i 2347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R1 `  (/) )  e.  y  <->  (/)  e.  y )
3029biimpri 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  y  ->  ( R1
`  (/) )  e.  y )
3130adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 `  (/) )  e.  y )
32 pweq 3629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( R1 `  w )  ->  ~P z  =  ~P ( R1 `  w ) )
3332eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R1 `  w )  ->  ( ~P z  e.  y  <->  ~P ( R1 `  w
)  e.  y ) )
3433rspccv 2882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  ->  ( ( R1 `  w
)  e.  y  ->  ~P ( R1 `  w
)  e.  y ) )
35 nnon 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  om  ->  w  e.  On )
36 r1suc 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  On  ->  ( R1 `  suc  w )  =  ~P ( R1
`  w ) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  om  ->  ( R1 `  suc  w )  =  ~P ( R1
`  w ) )
3837eleq1d 2350 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  om  ->  (
( R1 `  suc  w )  e.  y  <->  ~P ( R1 `  w
)  e.  y ) )
3938biimprcd 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ~P ( R1 `  w
)  e.  y  -> 
( w  e.  om  ->  ( R1 `  suc  w )  e.  y ) )
4034, 39syl6 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  ->  ( ( R1 `  w
)  e.  y  -> 
( w  e.  om  ->  ( R1 `  suc  w )  e.  y ) ) )
4140com3r 75 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  om  ->  ( A. z  e.  y  ~P z  e.  y  ->  ( ( R1 `  w )  e.  y  ->  ( R1 `  suc  w )  e.  y ) ) )
4241adantld 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  om  ->  (
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( ( R1
`  w )  e.  y  ->  ( R1 ` 
suc  w )  e.  y ) ) )
4323, 25, 27, 31, 42finds2 4683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  om  ->  (
( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 `  x )  e.  y ) )
44 eleq1 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  x )  =  w  ->  (
( R1 `  x
)  e.  y  <->  w  e.  y ) )
4544biimpd 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R1 `  x )  =  w  ->  (
( R1 `  x
)  e.  y  ->  w  e.  y )
)
4643, 45syl9 68 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  om  ->  (
( R1 `  x
)  =  w  -> 
( ( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  w  e.  y ) ) )
4746rexlimiv 2662 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  om  ( R1 `  x )  =  w  ->  ( ( (/) 
e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
4821, 47sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( R1 " om )  ->  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  w  e.  y ) )
4948com12 29 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( w  e.  ( R1 " om )  ->  w  e.  y ) )
5049ssrdv 3186 . . . . 5  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 " om )  C_  y )
51 vex 2792 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
5251ssex 4159 . . . . 5  |-  ( ( R1 " om )  C_  y  ->  ( R1 " om )  e.  _V )
5350, 52syl 17 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 " om )  e.  _V )
5453exlimiv 1667 . . 3  |-  ( E. y ( (/)  e.  y  /\  A. z  e.  y  ~P z  e.  y )  ->  ( R1 " om )  e. 
_V )
5518, 54ax-mp 10 . 2  |-  ( R1
" om )  e. 
_V
56 f1dmex 5712 . 2  |-  ( ( ( R1  |`  om ) : om -1-1-> ( R1 " om )  /\  ( R1 " om )  e. 
_V )  ->  om  e.  _V )
576, 55, 56mp2an 655 1  |-  om  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   (/)c0 3456   ~Pcpw 3626   class class class wbr 4024   Oncon0 4391   suc csuc 4393   omcom 4655    |` cres 4690   "cima 4691    Fn wfn 5216   -1-1->wf1 5218   -1-1-onto->wf1o 5220   ` cfv 5221    ~< csdm 6857   R1cr1 7429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-groth 8440
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-r1 7431
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